La topologia di \mathbb{R}^n generalizza la struttura della retta reale allo spazio n-dimensionale, fornendo il linguaggio per definire limiti e continuità per funzioni di più variabili.
Norma Euclidea e Distanza
La norma euclidea di \mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n è: \|\mathbf{x}\| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}
La distanza tra due punti è d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|.
Intorni Sferici
L’intorno sferico di centro \mathbf{x}_0 e raggio \varepsilon > 0 è la palla aperta: B(\mathbf{x}_0, \varepsilon) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \varepsilon\}
Classificazione dei Punti
Per un insieme A \subseteq \mathbb{R}^n e un punto \mathbf{x}_0:
| Tipo | Condizione |
|---|---|
| Interno a A | \exists\,\varepsilon: B(\mathbf{x}_0,\varepsilon) \subseteq A |
| Esterno ad A | \exists\,\varepsilon: B(\mathbf{x}_0,\varepsilon) \cap A = \emptyset |
| Di frontiera | ogni intorno interseca sia A che il suo complementare |
| Di accumulazione | ogni intorno contiene punti di A diversi da \mathbf{x}_0 |
Insiemi Aperti, Chiusi, Compatti, Connessi
- Aperto: ogni punto è interno (A = \text{int}(A)).
- Chiuso: contiene tutti i suoi punti di accumulazione (A \supseteq A').
- Compatto: chiuso e limitato in \mathbb{R}^n (teorema di Heine-Borel). Su compatti, funzioni continue raggiungono massimo e minimo.
- Connesso: non è unione di due aperti disgiunti non vuoti. Un insieme connesso e aperto in \mathbb{R}^n è detto dominio.
Punti Interni di Frontiera e Accumulazione in \mathbb{R}^n
La struttura è analoga a \mathbb{R}, ma in dimensione n > 1 la frontiera è generalmente una superficie (n-1)-dimensionale. Ad esempio, in \mathbb{R}^2 la frontiera di un disco è una circonferenza.