Topologia in ℝⁿ

La topologia di $\mathbb{R}^n$ generalizza la struttura della retta reale allo spazio $n$-dimensionale, fornendo il linguaggio per definire limiti e continuità per funzioni di più variabili.

Norma Euclidea e Distanza

La norma euclidea di $\mathbf{x} = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ è: $\|\mathbf{x}\| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$

La distanza tra due punti è $d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$.

Intorni Sferici

L’intorno sferico di centro $\mathbf{x}_0$ e raggio $\varepsilon > 0$ è la palla aperta: $B(\mathbf{x}_0, \varepsilon) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0\| < \varepsilon\}$

Classificazione dei Punti

Per un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^n$ e un punto $\mathbf{x}_0$:

Tipo	Condizione
Interno a $A$	$\exists\,\varepsilon: B(\mathbf{x}_0,\varepsilon) \subseteq A$
Esterno ad $A$	$\exists\,\varepsilon: B(\mathbf{x}_0,\varepsilon) \cap A = \emptyset$
Di frontiera	ogni intorno interseca sia $A$ che il suo complementare
Di accumulazione	ogni intorno contiene punti di $A$ diversi da $\mathbf{x}_0$

Insiemi Aperti, Chiusi, Compatti, Connessi

• Aperto: ogni punto è interno ($A = \text{int}(A)$).
• Chiuso: contiene tutti i suoi punti di accumulazione ($A \supseteq A'$).
• Compatto: chiuso e limitato in $\mathbb{R}^n$ (teorema di Heine-Borel). Su compatti, funzioni continue raggiungono massimo e minimo.
• Connesso: non è unione di due aperti disgiunti non vuoti. Un insieme connesso e aperto in $\mathbb{R}^n$ è detto dominio.

Punti Interni di Frontiera e Accumulazione in $\mathbb{R}^n$

La struttura è analoga a $\mathbb{R}$, ma in dimensione $n > 1$ la frontiera è generalmente una superficie $(n-1)$-dimensionale. Ad esempio, in $\mathbb{R}^2$ la frontiera di un disco è una circonferenza.