Palla aperta — ingegnerismo.it

Una palla aperta è l’insieme dei punti che si trovano a distanza strettamente minore di un certo raggio da un centro. È il modello elementare di vicinanza in analisi matematica: limiti, continuità, insiemi aperti, derivate e stabilità locale vengono formulati usando palle aperte o concetti equivalenti.

Nel piano una palla aperta euclidea è l’interno di un cerchio senza la circonferenza; nello spazio tridimensionale è l’interno di una sfera senza la superficie sferica. In dimensione arbitraria conserva la stessa idea, anche se non è più visualizzabile direttamente.

Definizione in Rn

In $\mathbb{R}^n$ , con una norma $\|\cdot\|$ , la palla aperta di centro $x_0$ e raggio $r>0$ è

B_r(x_0)= \{x\in\mathbb{R}^n:\|x-x_0\|<r\}.

La disuguaglianza è stretta: i punti con distanza esattamente uguale a $r$ non appartengono alla palla aperta. Essi formano il bordo, o sfera, della palla.

Con la norma euclidea in $\mathbb{R}^2$ :

B_r(x_0,y_0)= \{(x,y):(x-x_0)^2+(y-y_0)^2<r^2\}.

Spazi metrici

In uno spazio metrico $(X,d)$ , la definizione diventa

B_r(x_0)= \{x\in X:d(x,x_0)<r\}.

Questa forma è più generale: non richiede vettori, prodotti scalari o coordinate. Basta avere una distanza $d$ . Per questo le palle aperte sono lo strumento base della topologia metrica.

Collegamento con gli insiemi aperti

Un insieme $A$ è aperto se per ogni punto $x\in A$ esiste un raggio $r>0$ tale che

B_r(x)\subset A.

In parole: ogni punto dell’insieme deve avere un piccolo margine di sicurezza interamente contenuto nell’insieme. Se un punto è sul bordo, qualunque palla centrata in quel punto esce dall’insieme, quindi il punto non è interno.

Questa definizione rende precise frasi come “sufficientemente vicino”, “in un intorno del punto” o “localmente”. In analisi multivariata, quasi ogni definizione locale passa da questa idea.

Forma della palla e scelta della norma

La forma geometrica della palla dipende dalla norma scelta. In $\mathbb{R}^2$ :

Norma	Palla unitaria	Interpretazione
$\\|x\\|_2$	disco circolare	distanza euclidea ordinaria
$\\|x\\|_1$	rombo	somma degli scarti assoluti
$\\|x\\|_\infty$	quadrato	massimo scarto su una componente

In dimensione finita queste norme sono equivalenti, quindi generano la stessa nozione di insieme aperto. Tuttavia la forma della palla resta importante in ottimizzazione, stime numeriche e interpretazione dei vincoli.

Uso nei limiti e nella continuità

Una funzione $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ è continua in $x_0$ se, per ogni palla aperta attorno a $f(x_0)$ , esiste una palla aperta attorno a $x_0$ che viene mandata dentro la prima:

\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0: \|x-x_0\|<\delta \Rightarrow \|f(x)-f(x_0)\|<\varepsilon.

La notazione $\varepsilon$ - $\delta$ è quindi una relazione tra palle aperte: una nel dominio e una nel codominio.

Palla aperta, palla chiusa e sfera

È utile distinguere:

B_r(x_0)=\{x:\|x-x_0\|<r\}

\overline{B}_r(x_0)=\{x:\|x-x_0\|\le r\}

S_r(x_0)=\{x:\|x-x_0\|=r\}.

La palla chiusa include il bordo; la palla aperta lo esclude; la sfera è solo il bordo. Confondere questi tre oggetti porta spesso a errori nei problemi di compattezza, massimi e minimi, e condizioni al contorno.

Errori comuni

includere per errore i punti a distanza esattamente $r$ nella palla aperta;
pensare che una palla sia sempre “tonda”: la forma dipende dalla norma o dalla metrica;
usare palle euclidee in un problema dove la distanza naturale è diversa;
confondere “aperto” con “illimitato”: una palla aperta può essere limitata;
dimenticare che in dimensione infinita norme diverse possono generare palle aperte e topologie non equivalenti.

Vedi anche: Insieme aperto, Intervallo reale, Norma euclidea, Norme equivalenti.