La norma euclidea misura la lunghezza ordinaria di un vettore nello spazio euclideo. È la generalizzazione in \mathbb{R}^n del teorema di Pitagora: in due dimensioni fornisce la lunghezza di un segmento nel piano, in tre dimensioni quella di una diagonale nello spazio, e in dimensione arbitraria la distanza naturale tra punti rappresentati da vettori.
È la norma più usata in geometria analitica, analisi matematica, algebra lineare, ottimizzazione e calcolo numerico perché nasce dal prodotto scalare standard e conserva una forte interpretazione geometrica.
Definizione
Per un vettore
la norma euclidea è
In forma esplicita:
Il pedice 2 ricorda che si tratta della norma associata alla somma delle potenze seconde. Quando non ci sono ambiguità, si scrive semplicemente \|x\|.
Distanza euclidea
La norma euclidea induce la distanza
Per due punti del piano x=(x_1,x_2) e y=(y_1,y_2):
Questa è la formula pitagorica della distanza. In analisi, la stessa nozione permette di definire palle aperte, limiti, continuità, derivate in più variabili e convergenza di successioni vettoriali.
Proprietà fondamentali
La norma euclidea soddisfa le tre proprietà che definiscono una norma:
| Proprietà | Formula | Significato |
|---|---|---|
| Positività | \|x\|\ge0 e \|x\|=0\Leftrightarrow x=0 | solo il vettore nullo ha lunghezza nulla |
| Omogeneità | $|\alpha x|= | \alpha |
| Disuguaglianza triangolare | \|x+y\|\le\|x\|+\|y\| | il percorso diretto non supera la somma dei tratti |
La disuguaglianza triangolare è una conseguenza della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:
Questa stima è centrale perché lega angoli, proiezioni e lunghezze. In particolare permette di definire l’angolo \theta tra due vettori non nulli tramite
Interpretazione geometrica e numerica
Nel piano e nello spazio fisico, la norma euclidea coincide con la lunghezza misurata da un righello ideale in coordinate cartesiane ortonormali. Nei problemi numerici ad alta dimensione, invece, rappresenta una misura globale dell’errore:
Per questo compare in regressione ai minimi quadrati, ottimizzazione, stime di residuo, metodi iterativi e controllo della convergenza. Minimizzare una norma euclidea al quadrato equivale a penalizzare molto gli errori grandi, perché gli scarti vengono elevati al quadrato.
Confronto con altre norme
La norma euclidea non è l’unica possibile. In \mathbb{R}^n sono comuni anche
La norma \ell^1 misura una distanza “a blocchi” o di Manhattan; la norma \ell^\infty misura il massimo scarto su una componente. In dimensione finita queste norme sono equivalenti, cioè descrivono la stessa topologia, ma possono produrre geometrie e algoritmi molto diversi.
Errori comuni
- confondere la norma euclidea con il quadrato della norma: \|x\|^2=x\cdot x, non \|x\|;
- usare la formula senza verificare che le coordinate siano espresse in una base ortonormale;
- trattare la norma euclidea come sempre preferibile: in ottimizzazione e statistica altre norme possono modellare meglio sparsità, vincoli o errori massimi;
- dimenticare che in spazi funzionali infiniti le proprietà di equivalenza tra norme non valgono automaticamente come in \mathbb{R}^n.
Vedi anche: Prodotto scalare, Disuguaglianza triangolare, Palla aperta, Formulario di Geometria e Algebra Lineare.