Il valore assoluto (o modulo) di un numero reale x, indicato con |x|, rappresenta la “distanza” del numero dall’origine sulla retta reale, senza considerare il segno.
Definizione Analitica
È una funzione definita a tratti: |x| = \begin{cases} x & \text{se } x \geq 0 \\ -x & \text{se } x < 0 \end{cases}
Proprietà Fondamentali
- Non negatività: |x| \geq 0 per ogni x \in \mathbb{R}.
- Identità degli indiscernibili: |x| = 0 \iff x = 0.
- Moltiplicatività: |a \cdot b| = |a| \cdot |b|.
- Disuguaglianza triangolare: |a + b| \leq |a| + |b|. Questa è una delle proprietà più importanti dell’analisi per le stime di errore.
Significato Geometrico
In termini di distanza, |a - b| rappresenta la distanza tra i punti a e b sulla retta reale. Questa interpretazione è alla base della definizione di intorno e di limite.
Applicazione Ingegneristica
Il concetto di valore assoluto è onnipresente nella gestione delle tolleranze (es. |L - L_{nom}| \leq \Delta) e nel calcolo delle grandezze efficaci in elettrotecnica, dove il modulo di un segnale ne indica l’intensità indipendentemente dalla fase.