Valore Assoluto

Il valore assoluto (o modulo) di un numero reale $x$, indicato con $|x|$, rappresenta la “distanza” del numero dall’origine sulla retta reale, senza considerare il segno.

Definizione Analitica

È una funzione definita a tratti: $|x| = \begin{cases} x & \text{se } x \geq 0 \\ -x & \text{se } x < 0 \end{cases}$

Proprietà Fondamentali

1. Non negatività: $|x| \geq 0$ per ogni $x \in \mathbb{R}$.
2. Identità degli indiscernibili: $|x| = 0 \iff x = 0$.
3. Moltiplicatività: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.
4. Disuguaglianza triangolare: $|a + b| \leq |a| + |b|$. Questa è una delle proprietà più importanti dell’analisi per le stime di errore.

Significato Geometrico

In termini di distanza, $|a - b|$ rappresenta la distanza tra i punti $a$ e $b$ sulla retta reale. Questa interpretazione è alla base della definizione di intorno e di limite.

Applicazione Ingegneristica

Il concetto di valore assoluto è onnipresente nella gestione delle tolleranze (es. $|L - L_{nom}| \leq \Delta$) e nel calcolo delle grandezze efficaci in elettrotecnica, dove il modulo di un segnale ne indica l’intensità indipendentemente dalla fase.