La completezza di \mathbb{R} è la proprietà che distingue i numeri reali dai razionali: ogni successione di Cauchy converge, e ogni insieme non vuoto e limitato superiormente ha un estremo superiore in \mathbb{R}.
Assioma di Completezza
Ogni sottoinsieme non vuoto A \subseteq \mathbb{R} limitato superiormente ammette estremo superiore \sup A \in \mathbb{R}. Analogamente, se limitato inferiormente, ammette \inf A \in \mathbb{R}.
Questo assioma garantisce l’esistenza di numeri irrazionali come \sqrt{2}, \pi, e, che non appartengono a \mathbb{Q}.
Densità di \mathbb{Q} in \mathbb{R}
Tra due numeri reali qualsiasi esiste sempre almeno un numero razionale (e uno irrazionale): \forall a, b \in \mathbb{R},\ a < b \implies \exists\, q \in \mathbb{Q}\ \text{con}\ a < q < b
Nonostante \mathbb{Q} sia denso in \mathbb{R}, ha misura di Lebesgue nulla: quasi tutti i reali sono irrazionali.
Conseguenze
- Teorema di Bolzano-Weierstrass: ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente.
- Proprietà di Archimede: \forall x \in \mathbb{R},\ \exists\, n \in \mathbb{N} tale che n > x.
- Completezza garantisce che le serie convergenti abbiano una somma in \mathbb{R}.