Una funzione suriettiva è una funzione matematica che raggiunge tutti gli elementi del codominio dichiarato. Se:
la suriettività significa che ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A:
Equivalentemente:
La parola chiave è almeno: una funzione suriettiva garantisce l’esistenza di una controimmagine per ogni elemento del codominio, ma non garantisce che tale controimmagine sia unica. L’unicità appartiene invece alla funzione iniettiva.
Dipendenza dal codominio
La suriettività non dipende solo dalla formula, ma dalla funzione completa, cioè da dominio, legge e codominio. La stessa espressione può essere suriettiva o non suriettiva a seconda dell’insieme di arrivo scelto.
| Funzione dichiarata | Immagine effettiva | Suriettiva? |
|---|---|---|
| f:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=x^2 | [0,+\infty) | No, i valori negativi del codominio non sono raggiunti. |
| f:\mathbb R\to[0,+\infty), f(x)=x^2 | [0,+\infty) | Sì, ogni y\ge0 ha almeno una radice reale. |
| f:\mathbb R\to(0,+\infty), f(x)=e^x | (0,+\infty) | Sì, ogni y>0 è e^x per x=\ln y. |
| f:\mathbb R\to\mathbb R, f(x)=e^x | (0,+\infty) | No, zero e i valori negativi non sono raggiunti. |
| f:\mathbb R\to[-1,1], f(x)=\sin x | [-1,1] | Sì. |
Questo aspetto è spesso la fonte degli errori: dire ”x^2 non è suriettiva” è incompleto. Bisogna specificare verso quale codominio. Come funzione \mathbb R\to\mathbb R non è suriettiva; come funzione \mathbb R\to[0,+\infty) lo è.
Come si verifica
Per verificare che f:A\to B sia suriettiva, si prende un elemento generico y\in B e si cerca almeno una soluzione dell’equazione:
con x\in A. Se l’equazione è risolubile per ogni y del codominio, la funzione è suriettiva. Se esiste anche un solo y\in B senza controimmagine, la funzione non è suriettiva.
Per esempio, per:
si impone:
e si ricava:
Per ogni y\in\mathbb R il valore trovato appartiene ancora a \mathbb R, quindi la funzione è suriettiva. Invece, per f(x)=x^2 con codominio \mathbb R, l’equazione:
non ha soluzioni reali quando y<0, dunque la funzione non è suriettiva su \mathbb R.
Interpretazione grafica
Per funzioni reali di variabile reale, la suriettività verso un codominio B\subseteq\mathbb R significa che ogni altezza y appartenente a B viene effettivamente assunta dal grafico. Se il codominio è un intervallo, si può ragionare con limiti, continuità, monotonia ed estremi.
Una funzione continua:
non è di solito suriettiva su tutto \mathbb R, perché su un intervallo chiuso e limitato assume valori compresi tra minimo e massimo:
quando l’immagine è un intervallo completo. Diventa invece suriettiva se il codominio viene ristretto proprio alla sua immagine. Questo è il motivo per cui, nello studio di funzione, calcolare l’immagine non è un dettaglio: serve a capire quale codominio rende la funzione onto, cioè “su tutto” l’insieme di arrivo.
Relazione con inversa e biiettività
Una funzione suriettiva non è necessariamente invertibile in senso globale. Può accadere che un elemento del codominio abbia molte controimmagini:
La funzione è suriettiva, ma:
Quindi il valore 4 è raggiunto, ma non identifica un unico punto del dominio. Per avere una funzione inversa globale serve anche l’iniettività. Una funzione è biiettiva quando è contemporaneamente iniettiva e suriettiva:
La suriettività, da sola, garantisce invece l’esistenza di una inversa destra quando si può scegliere una controimmagine per ogni elemento di B. In termini formali, esiste una funzione:
tale che:
Questa identità dice che, partendo da un valore del codominio, si sceglie una sua controimmagine e poi si ritorna al valore di partenza.
Insiemi finiti e applicazioni lineari
Se A e B sono insiemi finiti e f:A\to B è suriettiva, allora il dominio deve avere almeno tanti elementi quanti il codominio:
Se invece:
allora per funzioni tra insiemi finiti iniettività e suriettività si equivalgono: se nessun elemento del codominio resta scoperto, nessun elemento può essere colpito due volte senza lasciarne scoperto un altro.
Per una applicazione lineare:
la suriettività equivale a:
In dimensione finita, se T è rappresentata da una matrice A con m righe, cioè con codominio \mathbb R^m, allora T è suriettiva se e solo se:
In linguaggio di sistemi lineari, questo significa che il sistema:
è risolubile per ogni termine noto b del codominio.
Significato operativo
In ingegneria, la suriettività risponde alla domanda: “ogni uscita richiesta è producibile da almeno un ingresso ammesso?”. Se la risposta è no, esistono obiettivi nominali che il sistema non può raggiungere, indipendentemente dall’algoritmo di controllo o dalla procedura di calcolo.
Esempi tipici:
- in controllo, una mappa ingresso-uscita non suriettiva indica che alcune configurazioni desiderate non sono raggiungibili;
- in calibrazione, un sensore o attuatore può coprire solo un intervallo fisico di valori, cioè la sua immagine effettiva;
- in algebra lineare numerica, una matrice rettangolare rappresenta un operatore suriettivo solo se le sue colonne generano tutto lo spazio di uscita;
- in modellazione, scegliere un codominio troppo grande produce una non suriettività formale che può rendere ambigue le conclusioni.
Errori comuni
- Confondere codominio e immagine: il codominio è dichiarato, l’immagine è raggiunta davvero.
- Dire che una formula è suriettiva senza indicare dominio e codominio.
- Pensare che suriettività significhi invertibilità: manca ancora l’unicità della controimmagine.
- Dimenticare che restringere il codominio all’immagine rende qualunque funzione suriettiva verso quel nuovo codominio.
- Nelle applicazioni lineari, verificare solo che il dominio sia grande abbastanza: serve il rango corretto, non solo un conteggio di dimensioni.
Vedi anche: funzione iniettiva, funzione biiettiva, immagine di una funzione, funzione composta e rango.