Una funzione biiettiva è una funzione che è contemporaneamente iniettiva e suriettiva. Se f:A\to B, ogni elemento del codominio B è raggiunto da uno e un solo elemento del dominio A.
Definizione formale
La biiettività mette insieme due richieste: esistenza della controimmagine e unicità della controimmagine. In forma logica:
Il simbolo \exists ! significa “esiste ed è unico”. La parte di esistenza corrisponde alla suriettività: nessun punto di B resta scoperto. La parte di unicità corrisponde all’iniettività: due punti diversi di A non possono produrre lo stesso valore. Per questo una funzione biiettiva realizza una corrispondenza uno-a-uno tra due insiemi, non soltanto una regola di calcolo.
| Proprietà | Significato | Effetto sulla controimmagine |
|---|---|---|
| Iniettività | Due punti diversi non hanno la stessa immagine. | Garantisce unicità. |
| Suriettività | Ogni punto del codominio è raggiunto. | Garantisce esistenza. |
| Biiettività | Esistenza e unicità della controimmagine. | Garantisce reversibilità globale. |
Ruolo di dominio e codominio
La biiettività non dipende solo dalla formula, ma dalla funzione matematica completa: dominio, codominio e legge di assegnazione. La stessa espressione può essere biiettiva o non biiettiva cambiando gli insiemi dichiarati.
Per esempio, la funzione f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definita da f(x)=x^2 non è biiettiva: non è iniettiva, perché f(-2)=f(2), e non è suriettiva su \mathbb{R}, perché nessun numero reale ha quadrato negativo. Se invece si considera
la funzione diventa biiettiva: ogni valore non negativo ha una sola radice non negativa. Questo esempio mostra un errore comune: giudicare la biiettività guardando solo la formula e dimenticando il codominio.
Inversa globale
La biiettività è esattamente la condizione per avere una funzione inversa globale:
L’inversa assegna a ogni y\in B l’unico x\in A tale che f(x)=y. Le due composizioni tornano alle identità:
Queste uguaglianze sono più forti di una semplice “formula inversa” calcolata algebricamente: dicono che il viaggio di andata e ritorno non perde informazione in nessuna direzione. Se una funzione è solo iniettiva, si può invertire sulla sua immagine, ma non sull’intero codominio dichiarato. Se è solo suriettiva, ogni valore del codominio è raggiunto, ma alcuni valori possono avere più preimmagini e quindi l’inversa non è una funzione.
Esempi e casi tipici
La funzione
è biiettiva: è strettamente crescente, assume tutti i valori reali e ha inversa f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}. Anche l’esponenziale e^x diventa biiettivo se il codominio è scelto come (0,+\infty), mentre non è suriettivo se si dichiara codominio \mathbb{R}.
In algebra lineare, una applicazione lineare tra spazi vettoriali della stessa dimensione finita è biiettiva se e solo se è invertibile. Per una matrice quadrata A, le condizioni seguenti sono equivalenti:
In questo contesto una biiezione lineare prende il nome di isomorfismo: non cambia la struttura, ma solo la rappresentazione degli elementi.
Uso operativo ed errori da evitare
Nelle applicazioni ingegneristiche la biiettività è cruciale quando una codifica, una calibrazione, una trasformazione di coordinate o una ricostruzione dati deve essere reversibile senza ambiguità. Se il modello non è iniettivo, due stati fisici diversi possono produrre la stessa misura; se non è suriettivo, alcune uscite desiderate non sono ottenibili dal sistema.
Un secondo punto delicato è distinguere invertibilità globale e invertibilità locale. Il teorema della funzione inversa fornisce condizioni differenziali per invertire una funzione vicino a un punto, ma non garantisce automaticamente una biiezione globale su tutto il dominio. Negli esercizi, conviene quindi controllare prima dominio e codominio, poi iniettività, suriettività e solo alla fine scrivere l’inversa.
Per esercizi collegati: studio della funzione inversa e teorema della funzione inversa in \mathbb{R}^n.
Vedi anche: funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione inversa, funzione matematica.