Funzione Iniettiva

Le funzioni vengono classificate in base a come distribuiscono i valori del dominio nel codominio.

Tipologie Principali

1. Iniettiva: Una funzione è iniettiva se $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$. Graficamente, ogni retta orizzontale interseca il grafico al massimo in un punto.
2. Suriettiva: Una funzione è suriettiva se l’immagine coincide con il codominio ($B = \text{Im}(f)$). Ogni elemento del codominio è raggiunto da almeno un elemento del dominio.
3. Biiettiva (o Biunivoca): Una funzione che è sia iniettiva che suriettiva. In questo caso esiste una corrispondenza “uno a uno” perfetta tra gli elementi dei due insiemi.

Invertibilità

Una funzione è invertibile (ammette una funzione inversa $f^{-1}$) se e solo se è biiettiva sul suo dominio di definizione.

Significato Ingegneristico

• Comunicazioni Digitali: In crittografia e codifica dei segnali, è essenziale che le funzioni di codifica siano iniettive per garantire che il messaggio originale possa essere ricostruito univocamente dal segnale ricevuto.
• Sistemi Sensoriali: Un sensore deve avere una risposta iniettiva rispetto alla grandezza fisica misurata (es. una tensione specifica deve corrispondere a una sola temperatura) per permettere una calibrazione precisa.
• Robotica: La cinematica inversa richiede lo studio dell’iniettività delle mappe che legano lo spazio dei giunti allo spazio cartesiano per evitare ambiguità nel posizionamento.