Funzione matematica — ingegnerismo.it

Una funzione matematica è una corrispondenza che associa a ogni elemento di un insieme di partenza uno e un solo elemento di un insieme di arrivo. È uno dei concetti di base dell’analisi, dell’algebra, della probabilità, della geometria e della modellazione ingegneristica: ogni volta che una grandezza di uscita viene determinata da uno stato, da un ingresso, da una variabile di progetto o da un insieme di dati, si sta usando l’idea di funzione.

La notazione più comune è:

f:A\to B

dove $A$ è il dominio, $B$ è il codominio e $f(x)$ è il valore assunto dalla funzione nel punto $x$ . La condizione essenziale è l’univocità:

x\in A \quad\Longrightarrow\quad \exists!\,y\in B:\ y=f(x).

Il simbolo $\exists!$ significa “esiste ed è unico”. Uno stesso elemento del dominio non può avere due immagini diverse. Elementi diversi del dominio, invece, possono essere mandati nello stesso elemento del codominio: questa possibilità distingue le funzioni generiche dalle funzioni iniettive.

Definizione insiemistica

Dal punto di vista insiemistico, una funzione può essere descritta tramite il suo grafico come sottoinsieme del prodotto cartesiano:

G_f\subseteq A\times B.

Affinché $G_f$ rappresenti davvero una funzione da $A$ a $B$ , deve valere una regola precisa: per ogni $x\in A$ esiste esattamente una coppia ordinata $(x,y)$ appartenente a $G_f$ . In forma equivalente:

\forall x\in A,\ \exists!\,y\in B:\ (x,y)\in G_f.

Questa formulazione è più generale della rappresentazione con una formula algebrica. Una funzione può essere assegnata da un’espressione, da una tabella, da un algoritmo, da una regola per casi, da una soluzione implicita, da un sistema dinamico o da una procedura numerica. Ciò che conta non è il modo con cui viene calcolata, ma il fatto che a ogni ingresso ammesso corrisponda un’uscita ben determinata.

Dominio, codominio e immagine

Il dominio è l’insieme degli ingressi ammessi. Il codominio è l’insieme di arrivo dichiarato. L’immagine di una funzione è invece l’insieme dei valori effettivamente raggiunti:

f(A)=\{f(x):x\in A\}.

La relazione corretta è:

f(A)\subseteq B.

L’immagine può coincidere con il codominio, ma non deve farlo necessariamente. Per esempio:

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=x^2

ha immagine:

f(\mathbb{R})=[0,+\infty),

che è un sottoinsieme proprio di $\mathbb{R}$ . Se invece la stessa legge viene dichiarata come:

f:\mathbb{R}\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2,

allora l’immagine coincide con il codominio. La formula è la stessa, ma la funzione, in senso rigoroso, non è la stessa: cambia l’insieme di arrivo e quindi cambiano anche proprietà come suriettività e invertibilità.

Funzione e formula non sono la stessa cosa

Un errore comune è identificare una funzione con la sola espressione simbolica. In realtà una funzione è definita da almeno tre elementi:

il dominio;
il codominio;
la legge che associa a ogni ingresso la sua uscita.

La scrittura $f(x)=x^2$ da sola descrive una legge, ma non stabilisce completamente la funzione. Su $\mathbb{R}$ la funzione non è iniettiva, perché $f(-2)=f(2)=4$ ; su $[0,+\infty)$ la stessa legge diventa iniettiva. Con codominio $\mathbb{R}$ non è suriettiva; con codominio $[0,+\infty)$ lo è.

Questa distinzione è decisiva anche nei modelli fisici. Una formula può produrre valori matematicamente calcolabili ma fisicamente non ammissibili. Per esempio, una legge lineare usata per approssimare una pressione, una concentrazione o una probabilità deve essere interpretata dentro il dominio di validità del modello; fuori da quell’intervallo può restituire numeri formalmente corretti ma privi di significato ingegneristico.

Immagini, controimmagini e fibre

Se $x\in A$ , il valore $f(x)$ si chiama immagine di $x$ . Se $y\in B$ , l’insieme degli elementi del dominio che vengono mandati in $y$ è la controimmagine, o fibra, di $y$ :

f^{-1}(\{y\}) = \{x\in A:\ f(x)=y\}.

La notazione $f^{-1}$ in questo contesto non implica necessariamente che esista una funzione inversa. Indica la controimmagine di un insieme. Per una funzione generica, un elemento del codominio può avere nessuna controimmagine, una sola controimmagine o molte controimmagini.

Per esempio, con $f(x)=x^2$ su $\mathbb{R}$ :

f^{-1}(\{4\})=\{-2,2\}, \qquad f^{-1}(\{-1\})=\varnothing.

La controimmagine è lo strumento naturale per risolvere equazioni, imporre vincoli e capire quali ingressi producono una certa uscita.

Proprietà strutturali

Le proprietà più elementari di una funzione descrivono come dominio, codominio e immagine si relazionano.

Una funzione è iniettiva se elementi diversi del dominio hanno immagini diverse:

f(x_1)=f(x_2) \quad\Longrightarrow\quad x_1=x_2.

È suriettiva su $B$ se ogni elemento del codominio viene raggiunto:

\forall y\in B,\ \exists x\in A:\ f(x)=y.

È biiettiva se è sia iniettiva sia suriettiva. In questo caso ogni $y\in B$ ha una e una sola controimmagine, e la funzione ammette una funzione inversa:

f^{-1}:B\to A.

Queste proprietà non appartengono alla formula isolata, ma alla funzione completa. Per questo, quando si studia una funzione, è necessario dichiarare sempre dominio e codominio oppure ricavarli dal contesto in modo esplicito.

Composizione e identità

Le funzioni possono essere concatenate. Se:

g:A\to B, \qquad f:B\to C,

la funzione composta è:

f\circ g:A\to C, \qquad (f\circ g)(x)=f(g(x)).

La composizione rappresenta processi in cascata: un segnale passa attraverso più blocchi, una variabile viene trasformata da più modelli, un algoritmo applica più passaggi successivi. L’ordine è importante, perché in generale:

f\circ g\ne g\circ f.

Esiste anche la funzione identità:

\operatorname{id}_A:A\to A, \qquad \operatorname{id}_A(x)=x,

che lascia invariato ogni elemento di $A$ e si comporta come elemento neutro della composizione quando i domini sono compatibili.

Funzioni reali, vettoriali e astratte

Nell’analisi elementare si incontrano spesso funzioni reali di variabile reale:

f:D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}.

In questo caso il grafico cartesiano è:

G_f=\{(x,f(x)):x\in D\}\subseteq\mathbb{R}^2.

Il grafico aiuta a interpretare zeri, segno, monotonia, estremi, continuità, limiti, asintoti e derivabilità. Tuttavia il grafico cartesiano è solo una rappresentazione possibile. In ingegneria compaiono anche funzioni di più variabili, campi scalari, campi vettoriali, trasformazioni tra spazi vettoriali, funzioni di trasferimento, operatori differenziali e mappe tra spazi di stati.

Una applicazione lineare, per esempio, è una funzione tra spazi vettoriali che conserva somma e prodotto per scalare. Una funzione di trasferimento, invece, descrive il rapporto tra ingresso e uscita di un sistema lineare nel dominio di Laplace o di Fourier. In entrambi i casi l’idea di funzione resta la stessa: a ogni oggetto ammesso in ingresso viene associato un oggetto ben determinato in uscita.

Uso nei modelli ingegneristici

In un modello ingegneristico una funzione può rappresentare:

la relazione tra carico e deformazione;
la curva caratteristica di un componente elettrico;
la risposta di un sensore a una grandezza fisica;
la legge di controllo che associa errore e comando;
una trasformazione di coordinate;
una funzione costo da minimizzare;
una mappa probabilistica tra dati osservati e classi.

La scelta del dominio esprime le condizioni di validità: intervalli di temperatura, limiti di tensione, range di pressione, vincoli geometrici, ipotesi di linearità, saturazioni, regimi di moto o ipotesi statistiche. Il codominio chiarisce invece il tipo di uscita atteso: numero reale, vettore, classe discreta, probabilità, segnale, matrice o traiettoria.

Per questo, nella pratica, definire una funzione non significa solo scrivere una formula elegante. Significa dichiarare quali ingressi sono ammessi, quali uscite sono accettabili, quali unità di misura sono coinvolte e in quale regione il modello rappresenta il fenomeno reale.

Errori comuni

Gli errori più frequenti sono:

confondere codominio e immagine;
dire che una formula è iniettiva o suriettiva senza specificare dominio e codominio;
usare un grafico come se fosse la definizione completa della funzione;
dimenticare restrizioni di dominio dovute a radici, logaritmi, denominatori o vincoli fisici;
trattare una relazione implicita come funzione senza verificare l’unicità dell’uscita;
usare la notazione $f^{-1}$ senza distinguere tra funzione inversa e controimmagine;
applicare una formula fuori dal suo intervallo di validità sperimentale o progettuale.

Vedi anche: dominio, codominio, immagine di una funzione, funzione composta, funzione inversa, funzione monotona e studio di funzione.