La funzione inversa f^{-1} di una funzione f è quella funzione che, se applicata al risultato di f, restituisce il valore originale: f^{-1}(f(x)) = x.
Condizioni di Invertibilità
Una funzione è invertibile se e solo se è biiettiva (sia iniettiva che suriettiva). In pratica, su un intervallo, una funzione continua è invertibile se è strettamente monotona.
Proprietà
- Grafico: Il grafico di f^{-1} è il simmetrico di quello di f rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante (y=x).
- Derivata: Se f è derivabile e f'(x) \neq 0, allora f^{-1} è derivabile e la sua derivata è: (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{con } y = f(x)
Significato Ingegneristico
- Identificazione di Sistemi: Dato l’output di un sistema (es. la tensione di un sensore), la funzione inversa permette di risalire all’input fisico (es. la temperatura o pressione).
- Problemi Inversi: Molte sfide ingegneristiche sono “inverse”: conoscendo l’effetto desiderato (es. la forma di un’ala), trovare la causa (es. la distribuzione di pressione) tramite funzioni o operatori inversi.
- Crittografia: Molti sistemi di cifratura si basano su funzioni che sono facili da applicare ma difficili da invertire (funzioni trapdoor).
- Elaborazione Immagini: La correzione di distorsioni ottiche o geometriche richiede l’applicazione della funzione inversa della trasformazione che ha generato la distorsione.