Il teorema della funzione inversa fornisce condizioni sufficienti affinché una funzione di più variabili sia localmente invertibile e la sua inversa sia differenziabile.
Enunciato
Sia f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n di classe C^1 in un intorno di \mathbf{x}_0, con Jacobiano non singolare: \det J_f(\mathbf{x}_0) \neq 0
Allora esiste un intorno aperto U di \mathbf{x}_0 e un intorno aperto V di f(\mathbf{x}_0) tali che f: U \to V è un diffeomorfismo di classe C^1, e la derivata dell’inversa è: J_{f^{-1}}(f(\mathbf{x})) = \left(J_f(\mathbf{x})\right)^{-1}
Interpretazione
Il Jacobiano J_f(\mathbf{x}_0) è la migliore approssimazione lineare di f in \mathbf{x}_0. Se questa applicazione lineare è invertibile, allora anche f è localmente invertibile.
Relazione con il Teorema di Dini
Il teorema delle funzioni implicite (Dini) è una generalizzazione: se F(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{0} definisce implicitamente \mathbf{y} in funzione di \mathbf{x}, la derivabilità di questa dipendenza è garantita dalla non singolarità di \partial F/\partial \mathbf{y}.
Il teorema della funzione inversa si ottiene applicando Dini a F(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = f(\mathbf{x}) - \mathbf{y}.
Applicazioni
- Cambio di coordinate: la validità locale di una parametrizzazione si verifica tramite il Jacobiano.
- Ottimizzazione vincolata: il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si giustifica tramite il teorema di Dini.
- Equazioni differenziali: la solubilità locale di sistemi non lineari si riconduce a questo teorema.