Teorema della Funzione Inversa

Il teorema della funzione inversa fornisce condizioni sufficienti affinché una funzione di più variabili sia localmente invertibile e la sua inversa sia differenziabile.

Enunciato

Sia $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ di classe $C^1$ in un intorno di $\mathbf{x}_0$, con Jacobiano non singolare: $\det J_f(\mathbf{x}_0) \neq 0$

Allora esiste un intorno aperto $U$ di $\mathbf{x}_0$ e un intorno aperto $V$ di $f(\mathbf{x}_0)$ tali che $f: U \to V$ è un diffeomorfismo di classe $C^1$, e la derivata dell’inversa è: $J_{f^{-1}}(f(\mathbf{x})) = \left(J_f(\mathbf{x})\right)^{-1}$

Interpretazione

Il Jacobiano $J_f(\mathbf{x}_0)$ è la migliore approssimazione lineare di $f$ in $\mathbf{x}_0$. Se questa applicazione lineare è invertibile, allora anche $f$ è localmente invertibile.

Relazione con il Teorema di Dini

Il teorema delle funzioni implicite (Dini) è una generalizzazione: se $F(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{0}$ definisce implicitamente $\mathbf{y}$ in funzione di $\mathbf{x}$, la derivabilità di questa dipendenza è garantita dalla non singolarità di $\partial F/\partial \mathbf{y}$.

Il teorema della funzione inversa si ottiene applicando Dini a $F(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = f(\mathbf{x}) - \mathbf{y}$.

Applicazioni

• Cambio di coordinate: la validità locale di una parametrizzazione si verifica tramite il Jacobiano.
• Ottimizzazione vincolata: il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si giustifica tramite il teorema di Dini.
• Equazioni differenziali: la solubilità locale di sistemi non lineari si riconduce a questo teorema.