Lo studio di una funzione fornisce tutto ciò che serve per decidere se essa è invertibile e, in caso affermativo, per descrivere la sua funzione inversa f^{-1}. I concetti chiave:
- Iniettività: f è iniettiva se valori distinti dell’ingresso danno uscite distinte (x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)). Graficamente, ogni retta orizzontale taglia il grafico al più una volta (test della retta orizzontale). Una funzione strettamente monotòna è automaticamente iniettiva.
- Invertibilità: una funzione iniettiva ammette inversa f^{-1}, che «annulla» f: f^{-1}(f(x))=x.
- Dominio e immagine si scambiano: il dominio di f^{-1} è l’immagine di f, e viceversa.
- Simmetria dei grafici: il grafico di f^{-1} è il simmetrico di quello di f rispetto alla bisettrice y=x. Di conseguenza, dove f ha tangente orizzontale, f^{-1} ha tangente verticale.
- Derivata dell’inversa: \big(f^{-1}\big)'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)}, con y_0=f(x_0) — anche quando l’inversa non si sa scrivere esplicitamente.
I quattro esercizi seguono lo schema generale applicandolo alla questione dell’inversa.
Esercizio 1 — Invertibilità globale e inversa esplicita
Studiare l’invertibilità di f(x)=x^3+1 e determinarne l’inversa.
1. Iniettività
D=\mathbb{R}. La derivata è f'(x)=3x^2\geq 0, nulla solo in x=0 ma senza cambiare segno: la funzione è strettamente crescente su tutto \mathbb{R}, dunque iniettiva. Inoltre f\to-\infty per x\to-\infty e f\to+\infty per x\to+\infty, quindi l’immagine è tutto \mathbb{R}: la funzione è anche suriettiva su \mathbb{R}, e perciò invertibile \mathbb{R}\to\mathbb{R}.
2. Calcolo dell’inversa
Poniamo y=x^3+1 e ricaviamo x:
y=x^3+1\ \Longrightarrow\ x^3=y-1\ \Longrightarrow\ x=\sqrt[3]{y-1}.
Scambiando i nomi delle variabili, l’inversa è
f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}.
Il suo dominio è \mathbb{R} (l’immagine di f), come dev’essere.
3. Relazione tra i grafici
I due grafici sono simmetrici rispetto a y=x. Si verifica con i punti: f passa per (0,1), (1,2), (-1,0); l’inversa passa per gli stessi punti con le coordinate scambiate: (1,0), (2,1), (0,-1).
Inoltre f ha tangente orizzontale in (0,1) (lì f'=0): per simmetria, f^{-1} ha tangente verticale nel punto corrispondente (1,0) — come effettivamente accade per \sqrt[3]{x-1}, che ha tangente verticale dove l’argomento si annulla.
4. Grafico
Esercizio 2 — Funzione non iniettiva e restrizione
Stabilire se f(x)=x^2 è invertibile e, in caso contrario, renderla invertibile con una restrizione.
1. Test di iniettività
D=\mathbb{R}. La funzione non è iniettiva: ad esempio f(-2)=f(2)=4, due ingressi diversi con la stessa uscita. Col test della retta orizzontale, la retta y=4 taglia la parabola in due punti (x=\pm2). Quindi f non è invertibile su tutto \mathbb{R}.
2. Restrizione del dominio
Lo studio della monotonia indica come rimediare: f'(x)=2x è negativa per x<0 e positiva per x>0. Su ciascuno dei due intervalli la funzione è strettamente monotòna, quindi iniettiva. Restringiamo il dominio a uno di essi:
- su [0,+\infty) la funzione è crescente: l’inversa è f^{-1}(x)=\sqrt{x};
- su (-\infty,0] la funzione è decrescente: l’inversa è f^{-1}(x)=-\sqrt{x}.
Per convenzione si sceglie la restrizione [0,+\infty). Allora f:[0,+\infty)\to[0,+\infty) è invertibile, con inversa la radice quadrata, di dominio [0,+\infty) (l’immagine della restrizione).
3. Relazione tra i grafici
Il grafico di \sqrt{x} è il simmetrico, rispetto a y=x, del solo ramo destro della parabola (quello con x\geq 0). Il ramo sinistro è stato scartato proprio per garantire l’iniettività.
4. Grafico
Esercizio 3 — Derivata dell’inversa senza calcolarla
Data f(x)=x+e^x, mostrare che è invertibile e calcolare \big(f^{-1}\big)'(1) senza determinare f^{-1}.
1. Invertibilità
D=\mathbb{R}. La derivata è
f'(x)=1+e^x.
Poiché e^x>0, si ha f'(x)>1>0 ovunque: f è strettamente crescente, quindi iniettiva e invertibile. Per i limiti, f\to-\infty a -\infty (dove e^x\to0 e x\to-\infty) e f\to+\infty a +\infty: l’immagine è \mathbb{R}, quindi f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} è invertibile.
Tuttavia l’equazione y=x+e^x non si può risolvere esplicitamente per x (mescola un termine algebrico e uno esponenziale): l’inversa esiste ma non ha formula elementare. È qui che il teorema sulla derivata dell’inversa diventa indispensabile.
2. Applicazione del teorema
Il teorema afferma:
\big(f^{-1}\big)'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)},\qquad\text{dove } y_0=f(x_0).
Ci serve \big(f^{-1}\big)'(1), quindi cerchiamo l’x_0 tale che f(x_0)=1. Per tentativi (o notando il valore comodo):
f(0)=0+e^0=0+1=1\ \Longrightarrow\ x_0=0,\quad\text{cioe } f^{-1}(1)=0.
Allora
\big(f^{-1}\big)'(1)=\dfrac{1}{f'(0)}=\dfrac{1}{1+e^0}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}.
Abbiamo trovato la pendenza dell’inversa in un punto senza conoscerne l’espressione: è il vantaggio decisivo del teorema. (Geometricamente: la tangente a f in (0,1) ha pendenza 2; la sua riflessione rispetto a y=x, tangente a f^{-1} in (1,0), ha pendenza reciproca \dfrac{1}{2}.)
3. Grafico
Esercizio 4 — Funzione omografica e asintoti scambiati
Studiare f(x)=\dfrac{x}{x+1}, verificarne l’invertibilità globale e determinarne l’inversa.
1. Studio essenziale
D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}. È una funzione omografica (rapporto di due polinomi di primo grado). Asintoti: verticale x=-1 (annulla il denominatore) e orizzontale y=1 (rapporto dei coefficienti di grado massimo). La derivata,
f'(x)=\dfrac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}>0,
è positiva su entrambi i rami: la funzione è crescente sia in (-\infty,-1) sia in (-1,+\infty).
2. Iniettività globale
Attenzione: «crescente su ogni ramo» non basta da solo a garantire l’iniettività globale (potrebbero esserci valori ripetuti tra i due rami). Verifichiamo le immagini dei due rami:
- ramo destro (-1,+\infty): per x\to-1^+, f\to-\infty; per x\to+\infty, f\to1^-. Immagine (-\infty,1);
- ramo sinistro (-\infty,-1): per x\to-\infty, f\to1^+; per x\to-1^-, f\to+\infty. Immagine (1,+\infty).
Le due immagini, (-\infty,1) e (1,+\infty), sono disgiunte (il valore y=1 non è mai assunto). Quindi nessun valore è ripetuto: f è globalmente iniettiva, con immagine \mathbb{R}\setminus\{1\}, e perciò invertibile.
3. Calcolo dell’inversa
Poniamo y=\dfrac{x}{x+1} e ricaviamo x:
y(x+1)=x\ \Longrightarrow\ yx+y=x\ \Longrightarrow\ y=x-yx=x(1-y)\ \Longrightarrow\ x=\dfrac{y}{1-y}.
Scambiando i nomi, l’inversa è
f^{-1}(x)=\dfrac{x}{1-x}.
Il suo dominio è \mathbb{R}\setminus\{1\} (l’immagine di f), come atteso.
4. Asintoti scambiati
La simmetria rispetto a y=x scambia rette verticali e orizzontali. Verifichiamolo: f ha asintoto verticale x=-1 e orizzontale y=1; l’inversa \displaystyle f^{-1}(x)=\dfrac{x}{1-x} ha asintoto verticale x=1 (denominatore 1-x=0) e orizzontale y=-1 (rapporto dei coefficienti \displaystyle \dfrac{1}{-1}). In effetti l’asintoto verticale x=-1 di f si riflette nell’orizzontale y=-1 di f^{-1}, e l’orizzontale y=1 di f nel verticale x=1 di f^{-1}: perfettamente coerente con la riflessione su y=x.
5. Grafico
Sintesi: dallo studio all’inversa
Per affrontare le domande sull’inversa, lo studio di funzione fornisce direttamente le risposte:
- Iniettività. Si guarda la monotonia (dal segno di f'). Una funzione strettamente monotòna su tutto il dominio è iniettiva. Se è monotòna a tratti, va controllato che le immagini dei vari rami non si sovrappongano (come nell’esercizio 4), altrimenti serve una restrizione del dominio (esercizio 2).
- Dominio e immagine dell’inversa. Si scambiano: D(f^{-1})=\text{Im}(f) e \text{Im}(f^{-1})=D(f). L’immagine di f si legge dai limiti e dagli estremi.
- Inversa esplicita. Quando possibile, si risolve y=f(x) rispetto a x. Per le omografiche e le potenze è sempre fattibile; per molte funzioni miste (come x+e^x) non lo è.
- Derivata dell’inversa. \displaystyle \big(f^{-1}\big)'(y_0)=\dfrac{1}{f'(x_0)} con y_0=f(x_0): vale sempre (dove f'(x_0)\neq 0), anche senza l’espressione dell’inversa.
- Grafico. Si ottiene per riflessione rispetto a y=x, ricordando che le tangenti orizzontali diventano verticali e gli asintoti verticali diventano orizzontali.