La risposta in frequenza descrive come un sistema lineare tempo-invariante modifica ampiezza e fase di segnali sinusoidali al variare della frequenza. È uno strumento comune a controlli automatici, elettronica analogica, telecomunicazioni, vibrazioni, acustica e identificazione sperimentale dei sistemi.
L’idea fondamentale è che, per un sistema LTI stabile, una sinusoide in ingresso produce a regime una sinusoide della stessa frequenza in uscita. Cambiano però ampiezza e sfasamento. La risposta in frequenza misura proprio questi due effetti.
1. Definizione tramite funzione di trasferimento
Se il sistema è descritto da una funzione di trasferimento G(s), la risposta in frequenza si ottiene valutando la funzione sull’asse immaginario:
dove \omega è la pulsazione, misurata in radianti al secondo. La frequenza ordinaria f, misurata in hertz, è collegata da:
Il valore G(j\omega) è in generale un numero complesso:
e può essere scritto in forma polare:
Il modulo \lvert G(j\omega)\rvert misura il rapporto di ampiezza tra uscita e ingresso; la fase \varphi(\omega) misura lo sfasamento dell’uscita rispetto all’ingresso.
2. Significato nel tempo
Per un ingresso sinusoidale:
la risposta a regime di un sistema stabile è:
Il pedice \mathrm{ss} indica steady state, cioè regime permanente. La parte transitoria, dovuta alle condizioni iniziali e ai poli del sistema, si esaurisce se il sistema è asintoticamente stabile. Per questo la risposta in frequenza non descrive tutto il transitorio, ma descrive con grande precisione il comportamento periodico a regime.
Questa proprietà rende le sinusoidi particolarmente importanti: nei sistemi LTI sono funzioni proprie operative. Il sistema non cambia la frequenza della sinusoide, ma ne cambia guadagno e fase.
3. Modulo, fase e decibel
Il modulo può essere espresso in forma lineare oppure in decibel:
La fase si esprime in radianti o gradi:
La scala in decibel è utile perché trasforma prodotti in somme e rapporti molto grandi in intervalli leggibili. Per esempio, un guadagno di 10 corrisponde a 20\,\mathrm{dB}, mentre un guadagno di 0{,}1 corrisponde a -20\,\mathrm{dB}.
| Grandezza | Interpretazione |
|---|---|
| modulo maggiore di 1 | amplificazione della componente sinusoidale |
| modulo minore di 1 | attenuazione della componente sinusoidale |
| fase negativa | uscita in ritardo rispetto all’ingresso |
| fase positiva | uscita in anticipo rispetto all’ingresso, rispetto alla convenzione scelta |
4. Diagrammi di Bode
I diagrammi di Bode rappresentano modulo e fase in funzione della frequenza su scala logaritmica. Sono lo strumento più usato perché permettono di leggere rapidamente guadagno, pendenze, poli, zeri, frequenze di rottura, banda e margini.
Per una funzione razionale, ogni polo e ogni zero aggiunge un contributo riconoscibile. Un polo reale del primo ordine introduce, oltre la propria pulsazione di rottura, una pendenza asintotica di:
Uno zero reale del primo ordine introduce invece:
L’approssimazione asintotica è utile per il progetto preliminare, ma i valori esatti vanno calcolati sulla funzione reale, specialmente vicino alle pulsazioni di rottura e agli attraversamenti di 0\,\mathrm{dB}.
5. Banda passante e frequenze di taglio
In elettronica e telecomunicazioni, la risposta in frequenza serve a definire la banda passante. Per un filtro passa-basso del primo ordine, la frequenza di taglio è spesso definita come il punto in cui il modulo scende a 1/\sqrt{2} del valore di bassa frequenza:
In decibel:
Per un filtro passa-basso RC:
la pulsazione di taglio vale:
e quindi:
Nei filtri passa-banda e nei sistemi risonanti la banda è invece l’intervallo tra due frequenze di taglio, una inferiore e una superiore.
6. Stabilità e margini
Nei sistemi retroazionati la risposta in frequenza dell’anello aperto è usata per valutare stabilità e robustezza dell’anello chiuso. Se:
è la funzione d’anello, la condizione critica della retroazione negativa è:
In quel punto il segnale rientra con modulo unitario e fase tale da trasformare la retroazione negativa in rinforzo positivo. I margini di stabilità misurano quanto il sistema è lontano da questa condizione.
Il margine di fase si legge alla pulsazione di attraversamento in guadagno, dove il modulo vale 0\,\mathrm{dB}:
Il margine di guadagno si legge alla pulsazione in cui la fase è -180^\circ:
Questi margini non sono decorazioni grafiche: indicano quanta incertezza di modello, ritardo, variazione di guadagno o dinamica non modellata il sistema può tollerare prima di diventare oscillatorio o instabile.
7. Collegamento con Nyquist
Il criterio di Nyquist usa la stessa grandezza L(j\omega), ma invece di separare modulo e fase in due grafici, traccia il luogo nel piano complesso. La stabilità dell’anello chiuso dipende dagli avvolgimenti del punto critico:
I diagrammi di Bode sono spesso più pratici per letture rapide; Nyquist è più generale quando l’anello aperto ha poli instabili, ritardi importanti o curve non monotone. In progetto si usano spesso insieme: Bode per intuizione e sintesi, Nyquist per verifiche più robuste.
8. Usi sperimentali
La risposta in frequenza può essere calcolata da un modello, ma anche misurata. In laboratorio si può eccitare il sistema con sinusoidi a frequenze diverse e misurare ampiezza e fase dell’uscita. In alternativa si usano sweep, segnali multisinusoidali o tecniche basate su trasformata di Fourier.
Questa misura è chiamata spesso FRF, frequency response function. È comune in vibrazioni meccaniche, acustica, prove strutturali, elettronica, controllo di motori, identificazione di impianti e collaudo di sensori. Il vantaggio è che molte non idealità emergono subito: risonanze, ritardi, attenuazioni, bande morte, rumore ad alta frequenza e saturazioni.
9. Relazione con progetto dei controllori
Nel progetto di un regolatore PID, la risposta in frequenza mostra come le azioni proporzionale, integrale e derivativa modificano modulo e fase dell’anello. L’integrale aumenta il guadagno alle basse frequenze e aiuta a ridurre l’errore a regime, ma può ridurre il margine di fase. La derivata aggiunge anticipo di fase in una banda limitata, ma amplifica rumore se non viene filtrata.
Il progetto non consiste quindi nel “alzare il guadagno” finché la risposta sembra rapida. Bisogna controllare attraversamento, banda, margini, rumore, saturazione degli attuatori e ritardi. Una risposta veloce con margini insufficienti è fragile: piccole variazioni dell’impianto possono trasformarla in oscillazione.
10. Errori comuni
Un errore frequente è confondere la risposta in frequenza con la risposta temporale completa. La prima descrive il regime sinusoidale, non necessariamente il transitorio a gradino o l’effetto delle condizioni iniziali.
Altri errori tipici sono:
| Errore | Correzione |
|---|---|
| Valutare G(j\omega) senza controllare stabilità e ipotesi LTI | Verificare modello, linearità locale e regime permanente |
| Leggere i Bode asintotici come valori esatti | Usare gli asintoti per orientarsi, non per certificare margini |
| Confondere Hz e rad/s | Ricordare \omega=2\pi f |
| Guardare solo il modulo | La fase determina ritardi, oscillazioni e robustezza |
| Usare margini su una funzione diversa dall’anello aperto | I margini si leggono su L(s), non sulla sola uscita chiusa |
| Ignorare rumore e saturazione | Le alte frequenze e i limiti degli attuatori condizionano il progetto reale |
La risposta in frequenza è quindi una lente che collega segnali, circuiti e controllo: permette di capire quali frequenze passano, quali vengono attenuate, quanto ritardo di fase si accumula e quanto margine resta prima dell’instabilità.
Vedi anche: funzione di trasferimento, diagramma di Bode, margini di stabilità, criterio di Nyquist, diagrammi di Bode: esercizi svolti e risposta in frequenza, filtri e risonanza.