Il criterio di Nyquist stabilisce la stabilità dell’anello chiuso osservando il percorso tracciato nel piano complesso dalla risposta in frequenza dell’anello aperto. È uno strumento centrale nei controlli automatici, complementare ai diagrammi di Bode, ai margini di stabilità e al luogo delle radici.
La grandezza di partenza è la funzione d’anello:
dove G(s) è il ramo diretto e H(s) è la retroazione. L’anello chiuso ha equazione caratteristica:
Il punto critico è quindi:
Nel piano complesso, Nyquist non controlla solo il modulo o solo la fase: controlla se il luogo di L(j\omega) avvolge il punto -1+j0.
Regola topologica
La forma operativa del criterio è:
dove:
| Simbolo | Significato |
|---|---|
| \displaystyle P | numero di poli di \displaystyle L(s) nel semipiano destro |
| \displaystyle Z | numero di zeri di \displaystyle 1+L(s) nel semipiano destro, cioè poli instabili dell’anello chiuso |
| \displaystyle N | numero netto di avvolgimenti del punto critico \displaystyle -1+j0 |
Per avere stabilità in anello chiuso deve risultare:
Se l’anello aperto non ha poli instabili, cioè P=0, il luogo di Nyquist non deve avvolgere il punto critico. Se invece P>0, gli avvolgimenti devono compensare esattamente quei poli instabili secondo la convenzione di verso adottata.
Lettura ingegneristica
La condizione critica della retroazione negativa è il ritorno del segnale con modulo unitario e fase -180^\circ:
In quel punto la correzione non si oppone più all’errore: lo rinforza. Per questo il punto -1 è il riferimento naturale del criterio.
| Situazione del luogo | Interpretazione |
|---|---|
| passa lontano da \displaystyle -1 | margini generalmente ampi |
| passa vicino a \displaystyle -1 | robustezza ridotta, sensibile a ritardi e incertezze |
| attraversa \displaystyle -1 | condizione limite di oscillazione |
| avvolge \displaystyle -1 in modo non compensato | anello chiuso instabile |
Collegamento con i margini
I margini di fase e di guadagno sono una lettura semplificata della stessa geometria. Il margine di fase guarda quanto manca a raggiungere -180^\circ quando |L(j\omega)|=1; il margine di guadagno guarda quanto guadagno si può ancora aumentare quando la fase è -180^\circ.
Nyquist è più generale perché resta valido anche quando la curva ha forme non monotone, quando ci sono poli instabili ad anello aperto o quando i margini letti su Bode non bastano a descrivere tutta la geometria.
Errori comuni
- Confondere il luogo di Nyquist con il diagramma di Bode: entrambi usano L(j\omega), ma Nyquist lavora direttamente nel piano complesso.
- Guardare solo la distanza dal punto -1 senza contare gli avvolgimenti.
- Applicare la regola come se P fosse sempre nullo: se l’anello aperto ha poli nel semipiano destro, il conteggio cambia.
- Usare la funzione di trasferimento ad anello chiuso al posto della funzione d’anello L(s).
- Dimenticare che ritardi e dinamiche non modellate possono spostare la curva verso il punto critico anche se il progetto nominale sembra sicuro.
Per esercitarsi sui casi numerici, vedi anche Criterio di Nyquist e margini di stabilità: esercizi svolti.