I margini di stabilità misurano quanto un sistema in retroazione è lontano dalla condizione critica di instabilità. Sono indicatori di robustezza: dicono quanta fase, quanto guadagno o quanto ritardo non modellato può essere aggiunto prima che l’anello chiuso diventi oscillatorio o instabile.
Si leggono in genere sulla risposta in frequenza della funzione d’anello:
dove G(s) è il ramo diretto e H(s) il ramo di ritorno. Nei diagrammi di Bode si osservano modulo e fase di L(j\omega); nel criterio di Nyquist si osserva invece la curva complessa rispetto al punto critico -1.
Condizione critica
In retroazione negativa, il rischio nasce quando il segnale di ritorno arriva con modulo unitario e fase complessiva pari a -180^\circ. In quel caso la correzione, invece di opporsi all’errore, torna in fase con esso e può autoalimentare l’oscillazione.
La condizione critica elementare è:
I margini misurano quanto manca a questa condizione.
Margine di fase
Il margine di fase si legge alla pulsazione di attraversamento in guadagno, cioè alla pulsazione \omega_c in cui il modulo vale 1, oppure 0\,\text{dB}:
Il margine di fase è:
Se a \omega_c la fase è -135^\circ, allora:
Un margine di fase positivo indica che, alla pulsazione in cui il guadagno d’anello è unitario, manca ancora fase prima della condizione critica. Un margine piccolo rende la risposta più oscillatoria e più sensibile a ritardi, poli non modellati e filtri reali.
Margine di guadagno
Il margine di guadagno si legge alla pulsazione di attraversamento in fase, cioè alla pulsazione \omega_\pi in cui:
In scala assoluta, se il modulo a quella pulsazione è minore di 1, il guadagno può essere aumentato fino a portarlo a 1. In decibel:
Per esempio, se alla fase -180^\circ il modulo vale -10\,\text{dB}, il margine di guadagno è:
Questo significa che il guadagno d’anello può aumentare di circa 10\,\text{dB} prima di raggiungere la condizione critica, purché il resto del modello resti valido.
Margine di ritardo
Un ritardo puro aggiunge fase negativa crescente con la frequenza. Se il sistema ha margine di fase m_\varphi alla pulsazione \omega_c, una stima del ritardo massimo tollerabile è:
Questa formula è una stima locale: traduce il margine di fase in tempo disponibile prima che il ritardo consumi la riserva di stabilità. È utile quando il processo contiene trasporto, campionamento, filtri digitali o comunicazione su rete.
Interpretazione pratica
Margini grandi indicano robustezza rispetto a incertezze, ritardi e variazioni di guadagno; margini piccoli indicano un sistema vicino all’oscillazione. Valori come 30^\circ-60^\circ di margine di fase e più di 6\,\text{dB} di margine di guadagno sono frequenti nella pratica industriale, ma non sono requisiti universali. Un servosistema veloce può accettare margini più aggressivi; un impianto termico lento, costoso o pericoloso richiede margini più conservativi.
Il margine va letto insieme alle prestazioni. Aumentare il guadagno può ridurre errore a regime e rendere la risposta più rapida, ma spesso alza la pulsazione di attraversamento e riduce il margine di fase. Aggiungere azione derivativa o compensazione anticipatrice può aumentare la fase disponibile, ma può anche amplificare rumore.
Collegamento con il progetto
Nel progetto di un regolatore PID o di un compensatore, i margini servono a bilanciare:
- velocità di risposta;
- sovraelongazione;
- errore a regime;
- robustezza a incertezze del modello;
- rumore di misura;
- saturazione degli attuatori;
- ritardi di calcolo e campionamento.
Un anello con margini formalmente positivi non è automaticamente un buon progetto. Bisogna verificare anche risposta nel tempo, limiti degli attuatori, disturbi, rumore e variazioni del processo.
Errori comuni
Il primo errore è scambiare le pulsazioni: il margine di fase si legge dove il modulo vale 0\,\text{dB}; il margine di guadagno si legge dove la fase vale -180^\circ.
Il secondo errore è usare i margini di Bode come criterio universale. Per sistemi con poli instabili in anello aperto, ritardi importanti, zeri a fase non minima o curve non monotone, il diagramma di Nyquist fornisce una verifica più generale.
Il terzo errore è interpretare margini elevati come sempre migliori. Margini molto conservativi possono produrre una risposta lenta, errore persistente o scarso rigetto dei disturbi.
Vedi anche: stabilità di un sistema, risposta in frequenza, diagramma di Bode, criterio di Nyquist, regolatore PID, esercizi su Nyquist e margini.