La stabilità di un anello in retroazione si valuta dalla funzione d’anello L(s)=G(s)H(s). Il criterio di Nyquist lega la stabilità dell’anello chiuso all’avvolgimento del diagramma di L(j\omega) attorno al punto critico -1. In pratica si usano due indicatori sintetici: il margine di guadagno e il margine di fase, che misurano quanto si è lontani dall’instabilità.
Punto critico: -1, cioè modulo 1 (0\,dB) e fase -180^\circ.
1. Pulsazione di attraversamento del guadagno
Esercizio. Definire \omega_c (gain crossover) e dire a cosa serve.
\omega_c è la pulsazione a cui il modulo della funzione d’anello vale 1:
|L(j\omega_c)|=1\quad\Leftrightarrow\quad |L|_{dB}=0\ \text{dB}.
È la pulsazione su cui si legge il margine di fase. Indica all’incirca la banda passante dell’anello chiuso: più \omega_c è alta, più il sistema è veloce.
2. Pulsazione di attraversamento della fase
Esercizio. Definire \omega_\pi (phase crossover).
\omega_\pi è la pulsazione a cui la fase vale -180^\circ:
\angle L(j\omega_\pi)=-180^\circ.
È la pulsazione su cui si legge il margine di guadagno. Lì il segnale retroazionato è in opposizione di fase: se anche il modulo arrivasse a 1, l’anello oscillerebbe.
3. Margine di fase
Esercizio. A \omega_c la fase della funzione d’anello vale -130^\circ. Calcolare il margine di fase.
Il margine di fase è quanto manca alla fase per arrivare a -180^\circ a \omega_c:
m_\varphi=180^\circ+\angle L(j\omega_c)=180^\circ+(-130^\circ)=50^\circ.
m_\varphi=50^\circ>0 → anello stabile, con buon margine. Valori tipici di progetto: m_\varphi tra 45^\circ e 60^\circ.
4. Margine di guadagno
Esercizio. A \omega_\pi il modulo della funzione d’anello vale |L(j\omega_\pi)|=0{,}25. Calcolare il margine di guadagno.
Il margine di guadagno è quanto si può aumentare il guadagno prima che |L| raggiunga 1 a \omega_\pi:
m_G=\dfrac{1}{|L(j\omega_\pi)|}=\dfrac{1}{0{,}25}=4.
In decibel:
m_{G,dB}=20\log_{10}(4)=12{,}0\ \text{dB}.
Si può quadruplicare il guadagno prima di innescare l’instabilità. Valori tipici di progetto: m_{G,dB} almeno 6\,dB.
5. Criterio di Bode
Esercizio. Enunciare la condizione di stabilità in termini di margini per un sistema a fase minima e anello aperto stabile.
Per sistemi a fase minima con funzione d’anello stabile, l’anello chiuso è stabile se e solo se:
m_G>1\ (m_{G,dB}>0)\quad\text{e}\quad m_\varphi>0.
Equivalentemente, a \omega_c la fase deve essere >-180^\circ. È il criterio di Bode, la forma operativa di Nyquist leggibile direttamente sui diagrammi.
Il diagramma di Nyquist traccia L(j\omega) nel piano complesso al variare di \omega. Per la funzione d’anello stabile L(s)=\dfrac{2}{(1+s)(1+0{,}5s)} la curva parte da (2,0) per \omega=0 e converge all’origine per \omega\to\infty, restando a destra del punto critico -1: nessun avvolgimento, anello chiuso stabile.
- curva di Nyquist L(jω)
- cerchio |L|=1
6. Margini da una funzione d’anello
Esercizio. Per L(s)=\dfrac{10}{s(1+0{,}1s)}, stimare il margine di fase.
Passo 1 — \omega_c (modulo unitario). Per \omega moderato |L|\approx10/\omega, quindi 10/\omega_c\approx1\ \Rightarrow\ \omega_c\approx10\ \text{rad/s} (verifica: a \omega=10, |1+0{,}1\cdot j10|=\sqrt2, modulo \approx10/(10\sqrt2)=0{,}707; \omega_c leggermente sotto 10, usiamo \omega_c\approx8\ \text{rad/s}).
Passo 2 — fase a \omega_c\approx8:
\angle L=-90^\circ-\arctan(0{,}1\times8)=-90^\circ-\arctan(0{,}8)=-90^\circ-38{,}7^\circ=-128{,}7^\circ.
Passo 3 — margine di fase:
m_\varphi=180^\circ-128{,}7^\circ=51^\circ.
Anello stabile con margine ampio. Il polo nell’origine fissa già -90^\circ; il secondo polo aggiunge il resto.
7. Effetto di un aumento di guadagno sui margini
Esercizio. Se nel sistema del punto 6 si raddoppia il guadagno (10\to20), come cambiano i margini?
Raddoppiare il guadagno alza il modulo di +6\,dB → \omega_c si sposta a frequenze più alte, dove la fase è più vicina a -180^\circ. Quindi:
- il margine di fase diminuisce (la nuova \omega_c ha fase più negativa);
- il margine di guadagno diminuisce (si è consumata metà della riserva).
Aumentare il guadagno rende il sistema più reattivo ma erode i margini: è il compromesso centrale del progetto in frequenza.
8. Relazione margine di fase – smorzamento
Esercizio. Stimare lo smorzamento \zeta dell’anello chiuso corrispondente a m_\varphi=50^\circ.
Una stima empirica molto usata per sistemi del secondo ordine dominante è:
\zeta\approx\dfrac{m_\varphi[^\circ]}{100}=\dfrac{50}{100}=0{,}50.
Un margine di fase di 50^\circ corrisponde a \zeta\approx0{,}5: risposta sottosmorzata con sovraelongazione moderata. La regola pratica m_\varphi\approx45^\circ\!-\!60^\circ punta proprio a \zeta\approx0{,}45\!-\!0{,}6, il compromesso ottimale.
Errori comuni
- Scambiare \omega_c e \omega_\pi. Il margine di fase si legge a \omega_c (modulo unitario); il margine di guadagno a \omega_\pi (fase -180^\circ). Invertirli dà margini privi di senso.
- Definire male il margine di fase. È m_\varphi=180^\circ+\angle L(j\omega_c), cioè la distanza da -180^\circ, non la fase stessa.
- Applicare Bode a sistemi a fase non minima. Con zeri/poli a parte reale positiva o ritardi puri il criterio di Bode dei margini non basta: serve il diagramma di Nyquist completo.
- Credere che più guadagno = più stabilità. Aumentare il guadagno avvicina al punto -1: i margini calano e il sistema può destabilizzarsi.