Il regolatore PID è un controllore in retroazione che calcola il comando u(t) combinando tre informazioni sull’errore e(t): valore istantaneo, accumulo nel tempo e velocità di variazione. Il nome deriva da proporzionale, integrale e derivativo.
È uno dei regolatori più usati nei sistemi industriali perché è semplice, interpretabile, implementabile con poca potenza di calcolo e adatto a molti processi reali: temperatura, livello, pressione, velocità, posizione, portata, azionamenti e servomeccanismi. La sua efficacia non dipende dal fatto che sia “magico”, ma dal buon equilibrio tra semplicità e capacità di correggere errore, ritardo e disturbi.
1. Legge nel dominio del tempo
La forma parallela continua è:
K_p è il guadagno proporzionale, K_i il guadagno integrale e K_d il guadagno derivativo. L’errore è:
dove r(t) è il riferimento e y(t) l’uscita misurata. La legge può essere applicata a variabili meccaniche, termiche, elettriche o chimiche, purché il segnale misurato sia affidabile e il comando resti compatibile con i limiti dell’attuatore.
2. Funzione di trasferimento
Nel dominio di Laplace, in condizioni iniziali nulle, il PID ideale ha funzione di trasferimento:
Una forma equivalente usa tempo integrale T_i e tempo derivativo T_d:
con:
Queste due parametrizzazioni non sono intercambiabili senza attenzione: alcuni strumenti industriali usano forma parallela, altri forma ideale o serie. Prima di copiare una taratura bisogna controllare la convenzione.
3. Azione proporzionale
L’azione proporzionale è:
Aumentare K_p rende il sistema più reattivo e riduce l’errore, ma può aumentare sovraelongazione, oscillazioni e sensibilità al rumore. In molti impianti un solo regolatore proporzionale lascia un errore permanente quando il processo richiede un comando non nullo per mantenere l’uscita al valore desiderato.
Nel dominio della risposta in frequenza, il guadagno proporzionale sposta verso l’alto il modulo dell’anello aperto e cambia frequenza di attraversamento, influenzando i margini di stabilità.
4. Azione integrale
L’azione integrale è:
Integrare l’errore significa accumulare memoria del passato. Se resta un errore persistente, l’integratore continua a crescere finché il comando non lo elimina. Per questo l’azione integrale è usata per annullare l’errore a regime in molti problemi di inseguimento e regolazione.
Nel dominio di Laplace l’integratore introduce un polo nell’origine:
Questo aumenta il tipo del sistema, ma riduce anche margine di fase e può rendere la risposta più oscillatoria. L’integrale corregge gli offset, ma non è gratis: va tarato con prudenza.
5. Azione derivativa
L’azione derivativa ideale è:
Il termine derivativo reagisce alla rapidità con cui cambia l’errore. In molti casi aumenta lo smorzamento e anticipa la tendenza del sistema, riducendo sovraelongazione. Però la derivata amplifica il rumore di misura: un segnale misurato rumoroso produce comandi impulsivi o irregolari.
Per questo in pratica non si usa quasi mai una derivata pura. Si usa una derivata filtrata, per esempio:
oppure una forma equivalente con costante di filtro. Il filtro limita il guadagno alle alte frequenze e rende il regolatore fisicamente implementabile.
6. Tabella sintetica
| Azione | Effetto principale | Rischio |
|---|---|---|
| proporzionale | aumenta prontezza | può lasciare offset e ridurre stabilità |
| integrale | annulla l’errore a regime alzando il tipo del sistema | windup e oscillazioni |
| derivativa | anticipa e smorza | amplifica il rumore |
In molti impianti industriali si usa un PI, aggiungendo il termine D solo quando serve aumentare lo smorzamento o migliorare la risposta transitoria. Nei processi lenti e rumorosi, come temperatura o livello, il termine derivativo può essere inutile o dannoso; nei servosistemi meccanici può invece essere molto utile.
7. Anello chiuso
Se G(s) è l’impianto e C(s) il regolatore, la funzione di trasferimento in anello chiuso, con retroazione unitaria, è:
La stabilità dipende dai poli di anello chiuso, cioè dagli zeri del denominatore:
La taratura del PID non deve quindi guardare solo il comando nel tempo. Deve controllare anche stabilità del sistema, margini, saturazione, rumore, disturbi e robustezza rispetto a incertezze del modello. I diagrammi di Bode sono uno strumento classico per leggere guadagno, fase e margini.
8. Saturazione e anti-windup
Gli attuatori reali saturano: una valvola ha apertura limitata, un motore ha corrente massima, un riscaldatore ha potenza massima. Se l’attuatore è saturo, l’uscita non segue più il comando richiesto dal regolatore. L’integratore, però, può continuare ad accumulare errore:
Questo fenomeno è chiamato windup. Quando il sistema rientra dalla saturazione, l’integratore accumulato può produrre sovraelongazioni lente e difficili da smaltire.
Le strategie anti-windup limitano o correggono lo stato dell’integratore quando il comando satura. In pratica si usano clamp, back-calculation, integrazione condizionata o tracking del comando effettivamente applicato.
9. Taratura
La taratura sceglie K_p, K_i e K_d per soddisfare un compromesso tra:
| Obiettivo | Effetto desiderato |
|---|---|
| rapidità | tempo di salita e assestamento bassi |
| precisione | errore a regime piccolo o nullo |
| smorzamento | sovraelongazione contenuta |
| robustezza | margini sufficienti rispetto a variazioni del modello |
| rumore | comando non troppo sensibile alle alte frequenze |
| saturazione | attuatori dentro i limiti fisici |
Metodi noti come Ziegler-Nichols, Cohen-Coon, taratura in frequenza, luogo delle radici, ottimizzazione numerica o auto-tuning danno valori iniziali, non verità assolute. Dopo la taratura bisogna verificare risposta a gradino, disturbi, rumore, cambi di setpoint e limiti dell’attuatore.
10. PID discreto
Nei controllori digitali il PID viene campionato con periodo T_s. Una forma incrementale semplificata è:
Il campionamento cambia il comportamento. Se T_s è troppo grande, il regolatore reagisce tardi e può diventare instabile; se è troppo piccolo rispetto al rumore e alla risoluzione dei sensori, il termine derivativo può diventare irregolare. La discretizzazione deve quindi essere scelta insieme a filtro, attuatore e dinamica del processo.
11. Errori comuni
Il primo errore è aumentare K_p finché il sistema “sembra veloce” senza controllare margini e rumore. Il secondo è aggiungere integrale per eliminare l’offset senza prevedere anti-windup. Il terzo è usare la derivata dell’errore su cambi bruschi di riferimento: il setpoint step produce un impulso derivativo. Per questo spesso si applica la derivata sulla misura, non sull’errore completo.
Un altro errore è copiare guadagni tra forme diverse di PID. Una terna valida in forma parallela non coincide automaticamente con una terna in forma ideale. Infine, un PID non risolve qualunque impianto: ritardi grandi, zeri nel semipiano destro, forti non linearità, saturazioni severe o sistemi multivariabili possono richiedere strategie più specifiche.
Vedi anche: Funzione di trasferimento, Errore a regime, Tipo del sistema, Stabilità di un sistema, Risposta in frequenza, Diagramma di Bode, Margini di stabilità, Regolatori PID: esercizi svolti.