Il regolatore PID combina tre azioni — proporzionale, integrale, derivativa — ed è il controllore più diffuso nell’industria. Ogni azione corregge un aspetto: la proporzionale reagisce all’errore presente, l’integrale elimina l’errore accumulato, la derivativa anticipa l’errore futuro. Questa scheda allena la scrittura della funzione di trasferimento del PID e la sua taratura.
Forma standard:
C(s)=K_p\left(1+\dfrac{1}{T_i s}+T_d s\right)=K_p+\dfrac{K_i}{s}+K_d s.
1. Azione proporzionale e guadagno
Esercizio. Un regolatore puramente proporzionale ha K_p=8. Su un impianto G(s)=\dfrac{1}{s+2} in retroazione unitaria, calcolare l’errore al gradino.
Passo 1 — funzione d’anello: L(s)=K_pG(s)=\dfrac{8}{s+2}, tipo 0.
Passo 2 — costante di posizione:
K_p^{(\text{pos})}=\lim_{s\to0}L(s)=\dfrac{8}{2}=4.
Passo 3 — errore al gradino:
e_\infty=\dfrac{1}{1+4}=0{,}20.
L’azione proporzionale riduce l’errore (più K_p, meno errore) ma non lo annulla mai su un sistema tipo 0: resta un offset.
2. Azione integrale: errore nullo
Esercizio. Aggiungendo l’azione integrale, C(s)=K_p+\dfrac{K_i}{s}, cosa succede all’errore al gradino del punto 1?
L’azione integrale introduce un polo nell’origine: la funzione d’anello L(s)=\left(K_p+\dfrac{K_i}{s}\right)\dfrac{1}{s+2} diventa tipo 1.
e_\infty=\dfrac{1}{1+K_p^{(\text{pos})}}=\dfrac{1}{1+\infty}=0.
L’integratore annulla l’errore a regime al gradino: è la ragione principale per cui si usa l’azione I. Il prezzo è una possibile riduzione dei margini e rischio di windup.
3. Azione derivativa: anticipo
Esercizio. Descrivere l’effetto dell’azione derivativa K_d s sui margini di stabilità.
La derivativa aggiunge fase positiva (uno zero), anticipando la risposta:
\angle(K_d s)=+90^\circ\ \text{(a frequenze elevate)}.
Effetti pratici: aumenta il margine di fase, smorza la sovraelongazione e velocizza il transitorio. Svantaggio: amplifica il rumore ad alta frequenza, perciò in pratica si usa una derivata filtrata \dfrac{K_d s}{1+\tau_f s}.
4. Conversione tra forme del PID
Esercizio. Un PID in forma standard ha K_p=5, T_i=2\ \text{s}, T_d=0{,}5\ \text{s}. Ricavare K_i e K_d della forma parallela.
Confronto tra K_p\left(1+\dfrac{1}{T_i s}+T_d s\right) e K_p+\dfrac{K_i}{s}+K_d s:
K_i=\dfrac{K_p}{T_i}=\dfrac{5}{2}=2{,}5,\qquad K_d=K_p T_d=5\times0{,}5=2{,}5.
Le due forme sono equivalenti; la standard espone i tempi caratteristici (T_i, T_d), la parallela i guadagni delle azioni. Saper passare dall’una all’altra evita errori di taratura.
5. Ziegler-Nichols dal guadagno critico
Esercizio. Un impianto in anello con solo azione proporzionale oscilla in modo sostenuto per K_p=K_c=6 con periodo di oscillazione T_c=2{,}8\ \text{s}. Tarare un PID con Ziegler-Nichols (metodo del limite di stabilità).
Le formule di Ziegler-Nichols (anello chiuso) per il PID:
K_p=0{,}6\,K_c,\qquad T_i=0{,}5\,T_c,\qquad T_d=0{,}125\,T_c.
Calcolo:
K_p=0{,}6\times6=3{,}6,\quad T_i=0{,}5\times2{,}8=1{,}4\ \text{s},\quad T_d=0{,}125\times2{,}8=0{,}35\ \text{s}.
Il guadagno critico K_c e il periodo T_c si ottengono proprio dall’analisi di Routh al limite (cfr. esercizi su Routh-Hurwitz). Z-N dà una taratura di partenza, da rifinire.
6. Guadagni parallelo da Ziegler-Nichols
Esercizio. Convertire la taratura del punto 5 in guadagni K_i, K_d.
K_i=\dfrac{K_p}{T_i}=\dfrac{3{,}6}{1{,}4}=2{,}57,\qquad K_d=K_p T_d=3{,}6\times0{,}35=1{,}26.
Quindi C(s)=3{,}6+\dfrac{2{,}57}{s}+1{,}26\,s. La forma parallela è quella che si inserisce direttamente nella maggior parte degli ambienti di simulazione.
7. Taratura PI per impianto del primo ordine
Esercizio. Per G(s)=\dfrac{2}{1+5s} progettare un PI che cancelli il polo dell’impianto.
Passo 1 — scelta dello zero del PI. Con C(s)=K_p\dfrac{1+T_i s}{T_i s}, si pone lo zero del regolatore sul polo dell’impianto: T_i=5\ \text{s}.
Passo 2 — funzione d’anello dopo la cancellazione:
L(s)=K_p\dfrac{1+5s}{5s}\cdot\dfrac{2}{1+5s}=\dfrac{2K_p}{5s}.
Resta un integratore puro: anello stabile per ogni K_p>0, errore nullo al gradino. La pulsazione di attraversamento è \omega_c=2K_p/5: si sceglie K_p per la rapidità desiderata. La cancellazione polo-zero è una tecnica di sintesi pulita per il primo ordine.
8. Effetto combinato delle tre azioni
Esercizio. Riassumere l’effetto qualitativo di aumentare ciascun guadagno del PID su risposta e regime.
| Aumento di | Tempo di salita | Sovraelongazione | Errore a regime | Stabilità |
|---|---|---|---|---|
| K_p | diminuisce | aumenta | diminuisce | peggiora |
| K_i | diminuisce | aumenta | si annulla | peggiora |
| K_d | quasi invariato | diminuisce | quasi invariato | migliora |
Lettura di progetto: K_p per la prontezza, K_i per azzerare l’errore statico, K_d per smorzare e recuperare margine. La taratura è un equilibrio: spingere troppo su K_p o K_i destabilizza, la K_d compensa ma amplifica il rumore.
Errori comuni
- Confondere le due forme del PID. T_i e T_d (tempi) non sono K_i e K_d (guadagni): K_i=K_p/T_i, K_d=K_p T_d.
- Dimenticare il windup. L’azione integrale accumula errore quando l’attuatore satura: senza anti-windup la risposta peggiora con grandi sovraelongazioni.
- Usare derivativa pura. K_d s amplifica il rumore: in pratica va sempre filtrata.
- Cancellare poli instabili. La cancellazione polo-zero è lecita solo su poli stabili; cancellare un polo a parte reale positiva nasconde un’instabilità interna che riemerge.