L’errore a regime è l’errore residuo tra riferimento e uscita dopo l’estinzione del transitorio. Nei controlli automatici misura la precisione finale dell’inseguimento: non dice quanto rapidamente il sistema arriva vicino al riferimento, ma quanto errore resta quando la dinamica si è assestata.
Se r(t) è il riferimento e y(t) l’uscita misurata, l’errore è:
Anello in retroazione unitaria
Nel caso standard di retroazione unitaria, con funzione d’anello L(s), si ha:
Se il sistema ad anello chiuso è stabile e il teorema del valore finale è applicabile:
La stabilità è una condizione essenziale: se l’anello chiuso è instabile o non converge, l’errore a regime non esiste come valore finito.
Costanti statiche d’errore
Il risultato dipende dal tipo del sistema, cioè dal numero di integratori presenti nella funzione d’anello L(s), e dal tipo di ingresso di prova. Le costanti statiche sono:
| Ingresso unitario | Trasformata del riferimento | Costante rilevante | Errore a regime |
|---|---|---|---|
| Gradino | \displaystyle R(s)=\dfrac{1}{s} | \displaystyle K_p=\lim_{s\to0}L(s) | \displaystyle e_\infty=\dfrac{1}{1+K_p} |
| Rampa | \displaystyle R(s)=\dfrac{1}{s^2} | \displaystyle K_v=\lim_{s\to0}sL(s) | \displaystyle e_\infty=\dfrac{1}{K_v} |
| Parabola | \displaystyle R(s)=\dfrac{1}{s^3} | \displaystyle K_a=\lim_{s\to0}s^2L(s) | \displaystyle e_\infty=\dfrac{1}{K_a} |
Quando la costante rilevante è infinita, l’errore corrispondente è nullo; quando è nulla, l’errore è infinito.
Tipo del sistema
Il tipo è il numero di poli nell’origine della funzione d’anello L(s). Un integratore aggiunge un polo in s=0 e aumenta il tipo.
| Tipo del sistema | Gradino | Rampa | Parabola |
|---|---|---|---|
| Tipo 0 | \displaystyle \dfrac{1}{1+K_p} | \displaystyle \infty | \displaystyle \infty |
| Tipo 1 | \displaystyle 0 | \displaystyle \dfrac{1}{K_v} | \displaystyle \infty |
| Tipo 2 | \displaystyle 0 | \displaystyle 0 | \displaystyle \dfrac{1}{K_a} |
Questa tabella è una sintesi operativa: il tipo del sistema dice fino a quale classe di ingresso polinomiale l’anello riesce a inseguire senza errore finale.
Azione integrale e compromessi
L’azione integrale di un regolatore PID aumenta il tipo del sistema aggiungendo un polo nell’origine. Per questo è usata per annullare l’offset al gradino. Il miglioramento della precisione non è gratuito: più integrazione significa spesso risposta più lenta, maggiore sovraelongazione, rischio di windup e riduzione dei margini di stabilità.
In progetto si bilanciano precisione statica e dinamica. Un errore a regime nullo è inutile se l’anello diventa instabile, oscillante o troppo lento per il processo reale.
Schema operativo
| Passo | Operazione | Controllo |
|---|---|---|
| 1 | Scrivere la funzione d’anello \displaystyle L(s) | Usare la funzione prima della chiusura dell’anello. |
| 2 | Verificare la stabilità ad anello chiuso | Senza stabilità il valore finale non è valido. |
| 3 | Identificare l’ingresso di prova | Gradino, rampa o parabola richiedono costanti diverse. |
| 4 | Calcolare la costante statica appropriata | \displaystyle K_p, \displaystyle K_v oppure \displaystyle K_a. |
| 5 | Applicare la formula dell’errore | Interpretare zero, finito o infinito come prestazione di inseguimento. |
Errori comuni
Non bisogna calcolare l’errore a regime usando la sola funzione di trasferimento dell’impianto se è presente un controllore: conta la funzione d’anello completa. Un secondo errore è applicare il teorema del valore finale senza verificare la stabilità dell’anello chiuso. Infine, aggiungere integratori non è sempre una soluzione: migliora l’errore statico, ma può peggiorare robustezza e transitorio.
Approfondimenti: Teorema del valore finale, Tipo del sistema, Formulario di controlli automatici, Regolatore PID, Funzione di trasferimento, Errore a regime e tipo di sistema: esercizi svolti, Progetto PID: esercizi svolti.