Il teorema del valore finale permette di calcolare il limite a regime di un segnale a partire dalla sua trasformata di Laplace, senza eseguire l’antitrasformata completa. Se:
e se il limite temporale esiste nelle condizioni corrette, allora:
È uno strumento centrale nei controlli automatici, nella teoria dei segnali e nell’analisi dei sistemi lineari tempo-invarianti, perché consente di stimare valore di regime, uscita finale ed errore a regime direttamente nel dominio complesso.
Significato operativo
La trasformata di Laplace rappresenta il segnale tramite i suoi modi esponenziali. I poli di F(s) determinano contributi temporali del tipo:
dove p è un polo. Se tutti i contributi transitori decadono, resta solo il valore costante finale. Moltiplicare per s e mandare s a zero isola proprio quel contributo costante, perché:
Il teorema non dice che ogni segnale abbia un valore finale. Dice che, quando il valore finale esiste e le condizioni sui poli sono rispettate, lo si può calcolare in modo algebrico.
Condizioni d’uso
La regola pratica più importante riguarda i poli di sF(s). Per ottenere un valore finale finito, tutti i poli di sF(s) devono stare nel semipiano sinistro aperto:
Non devono rimanere poli nel semipiano destro, né poli sull’asse immaginario. Un polo sull’asse immaginario produce oscillazioni persistenti; un polo nel semipiano destro produce divergenza; un polo residuo in zero dentro sF(s) segnala un termine che non tende a un valore finito.
Attenzione alla distinzione: un polo semplice in zero di F(s) può essere perfettamente compatibile con un valore finale costante, perché viene cancellato dal fattore s. Invece un polo in zero di sF(s) indica che il segnale cresce senza limite o non ammette un valore finito.
Esempio valido
Consideriamo:
Allora:
Il polo di sF(s) è s=-a, nel semipiano sinistro. Il valore finale è:
Infatti l’antitrasformata è:
che tende a \dfrac{1}{a} per t\to\infty.
Esempi non validi
Un caso instabile può ingannare. Se:
allora:
ma il segnale temporale è f(t)=e^t, che diverge. Il risultato algebrico non è il valore finale: il teorema non era applicabile perché esiste un polo nel semipiano destro.
Anche le oscillazioni pure invalidano il teorema. Se:
il segnale è f(t)=\sin(\omega t), che non tende a un limite. Il calcolo:
non autorizza a dire che il valore finale sia zero. Il limite temporale non esiste, perché i poli sono sull’asse immaginario.
Uso nei controlli automatici
Nei sistemi in retroazione unitaria, se R(s) è il riferimento, Y(s) l’uscita e E(s) l’errore, si ha spesso:
dove L(s) è la funzione d’anello. Se l’anello chiuso è stabile e il teorema è applicabile, l’errore finale è:
Questa formula è alla base delle costanti statiche d’errore e della classificazione per tipo del sistema. Per un ingresso a gradino, a rampa o parabolico, si applica il teorema al segnale di errore corretto, non alla sola funzione di trasferimento dell’impianto.
Il controllo preliminare resta la stabilità del sistema ad anello chiuso. Se il sistema è instabile, parlare di errore a regime non ha significato operativo: il transitorio non si esaurisce.
Valore finale dell’uscita ed errore finale
Il teorema può essere applicato a grandezze diverse:
| Grandezza | Trasformata | Valore finale |
|---|---|---|
| uscita | Y(s) | \displaystyle y_\infty=\lim_{s\to0}sY(s) |
| errore | E(s) | \displaystyle e_\infty=\lim_{s\to0}sE(s) |
| risposta al gradino | G(s)\dfrac{1}{s} | \displaystyle \lim_{s\to0}G(s) se valido |
| segnale generico | F(s) | \displaystyle \lim_{s\to0}sF(s) se valido |
Confondere queste grandezze produce errori frequenti. Un sistema può avere uscita finale finita ma errore finale non nullo; oppure può inseguire perfettamente un gradino ma non una rampa. Per questo bisogna prima scrivere il segnale di interesse e solo dopo applicare il teorema.
Variante discreta
Per sistemi a tempo discreto esiste un risultato analogo con la trasformata Z. Se X(z) è la trasformata Z unilatera di una successione x[k] e il limite esiste, allora:
Anche qui servono condizioni sui poli. In termini operativi, i modi transitori devono decadere, quindi i poli rilevanti devono trovarsi dentro il cerchio unitario. Poli sul cerchio unitario producono oscillazioni persistenti o termini costanti non gestiti correttamente; poli fuori dal cerchio unitario producono divergenza.
La variante discreta è fondamentale nei filtri digitali e nel controllo digitale, ma ha le stesse cautele concettuali della versione continua: non basta sostituire s=0 con z=1 se il limite temporale non esiste.
Procedura affidabile
Una procedura robusta è questa. Prima si individua il segnale di cui si vuole il valore finale: uscita, errore, stato o altra grandezza. Poi si scrive la sua trasformata nel dominio corretto. Quindi si controllano i poli di sF(s) nel caso continuo, oppure della quantità corrispondente nel caso discreto. Solo dopo si calcola il limite algebrico.
Nei problemi di controllo, questo significa non saltare la verifica dei poli del sistema ad anello chiuso. Il teorema del valore finale è uno strumento di calcolo, non un criterio di stabilità.
Errori comuni
Il primo errore è applicarlo senza verificare la stabilità. È il caso più pericoloso, perché il limite algebrico può esistere anche quando il segnale diverge.
Il secondo errore è usarlo su segnali oscillanti persistenti. Un seno puro o una risposta marginalmente stabile non hanno valore finale, anche se il limite di sF(s) può dare un numero.
Il terzo errore è applicarlo al segnale sbagliato. Per calcolare l’errore a regime serve E(s); per calcolare l’uscita finale serve Y(s); per valutare la risposta al gradino bisogna includere il fattore \dfrac{1}{s} dell’ingresso.
Il quarto errore è confondere condizioni su F(s) e condizioni su sF(s). Il controllo decisivo per il teorema riguarda i poli che restano dopo la moltiplicazione per s.
Vedi anche: errore a regime, tipo del sistema, trasformata di Laplace, trasformata Z, funzione di trasferimento, polo di un sistema, stabilità di un sistema, gradino di Heaviside, formulario di controlli automatici e formulario di Analisi III.