Contribuisci Aiuta

Formulario di Analisi Matematica III

Formulari Analisi MatematicaAnalisi ComplessaFisica MatematicaTeoria dei Segnali
Indice dei contenuti

    Formulario completo e commentato di Analisi Matematica III per ingegneria. Il programma proposto è molto ricco e sostanzialmente corretto: copre le tre anime del corso, cioè analisi armonica, variabile complessa ed equazioni della fisica matematica. Lo rendo più organico aggiungendo alcuni snodi che spesso fanno la differenza negli esercizi: convenzioni di normalizzazione, regioni di convergenza, formule di inversione, condizioni di applicabilità dei teoremi, procedure operative per residui e trasformate, e un ponte finale tra EDP, distribuzioni e spazi funzionali.

    L’ordine consigliato è:

    1. serie di Fourier e sviluppi ortogonali;
    2. trasformata di Fourier continua e distribuzioni temperate;
    3. trasformata di Laplace e calcolo operatoriale;
    4. trasformata Z e sistemi discreti;
    5. funzioni olomorfe e trasformazioni conformi;
    6. integrazione complessa, Laurent e residui;
    7. EDP lineari classiche e Sturm-Liouville;
    8. spazi funzionali, distribuzioni e metodi deboli.

    Commento editoriale sul programma: aggiungerei esplicitamente le serie di potenze complesse prima di Laurent, le nozioni di regione di convergenza per Laplace e Z, le formule di inversione per Fourier-Laplace-Z, il rapporto tra condizioni al contorno e autovalori di Sturm-Liouville, e il linguaggio minimo degli spazi L^p, di Hilbert e delle distribuzioni. Questi argomenti non sono “extra”: sono il telaio che evita di usare le formule come una tabella cieca.

    1. Convenzioni, notazione e mappa mentale

    Variabili e domini

    Nel corso compaiono tre domini fondamentali:

    \displaystyle x\in\mathbb{R},\qquad t\ge 0,\qquad z=x+iy\in\mathbb{C}.

    Per segnali e EDP si usano spesso:

    \displaystyle t=\text{tempo},\qquad x=\text{spazio},\qquad \omega=\text{pulsazione},\qquad s=\sigma+i\omega,\qquad z=re^{i\theta}.

    Commento operativo: prima di applicare una trasformata, stabilire sempre se il problema è periodico, non periodico, causale o discreto.

    SituazioneStrumento naturaleVoceEsercizio
    Funzione periodicaSerie di FourierSerie di Fourier—
    Segnale continuo non periodicoTrasformata di FourierTrasformata di Fourier—
    Sistema causale con condizioni inizialiTrasformata di LaplaceTrasformata di Laplace—
    Successione o sistema digitaleTrasformata ZTrasformata Z—
    Integrali reali difficiliResidui complessiTeorema dei residui—
    Calore, onde, Laplace, PoissonEDP e separazioneEDP — Classificazione e Metodi Generali—
    Impulsi e derivate deboliDistribuzioniDistribuzioni—

    Convenzione per Fourier

    In questo formulario uso la convenzione ingegneristica:

    \displaystyle \widehat f(\omega)=\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt,
    \displaystyle f(t)=\mathcal{F}^{-1}\{\widehat f\}(t) =\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\widehat f(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega.

    Se un testo usa la variabile \xi con e^{-2\pi i\xi x}, le costanti cambiano. La struttura delle proprietà resta la stessa, ma Parseval, derivazione e gaussiane assumono fattori diversi.

    Piano operativo da esercizio

    1. Identificare il tipo di problema: periodico, continuo, causale, discreto, complesso, EDP.
    2. Scrivere dominio, regolarità e condizioni iniziali/al contorno.
    3. Scegliere lo strumento: Fourier, Laplace, Z, residui, separazione, Green.
    4. Applicare la formula solo dopo aver controllato le ipotesi minime.
    5. Tornare al dominio originale con inversione, fratti semplici, serie o residui.
    6. Interpretare la soluzione: stabilità, energia, smorzamento, propagazione, singolarità.

    2. Serie di Fourier

    Le serie di Fourier trasformano una funzione periodica in una somma di armoniche. In ingegneria sono il linguaggio naturale di vibrazioni, segnali periodici, onde stazionarie, analisi armonica delle reti elettriche e condizioni al contorno su intervalli.

    Forma reale su [-\pi,\pi]

    Se f è 2\pi-periodica, si scrive:

    \displaystyle f(x)\sim \dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right).

    Coefficienti:

    \displaystyle a_0=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx,
    \displaystyle a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dx, \qquad b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dx.

    Commento passo passo:

    1. Il termine \dfrac{a_0}{2} è la componente media.
    2. I coefficienti a_n misurano la parte pari rispetto alle armoniche cosenoidali.
    3. I coefficienti b_n misurano la parte dispari rispetto alle armoniche sinusoidali.
    4. La scrittura \sim indica sviluppo formale; l’uguaglianza puntuale richiede ipotesi di convergenza.
    FormulaVoceEsercizio
    f(x)\sim \dfrac{a_0}{2}+\sum_{n\ge 1}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)Serie di Fourier—
    a_n=\pi^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,dxSerie di Fourier—
    b_n=\pi^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,dxSerie di Fourier—

    Forma su intervallo generico

    Su [-L,L]:

    \displaystyle f(x)\sim \dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} \left[ a_n\cos\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) +b_n\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) \right].

    Coefficienti:

    \displaystyle a_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx,
    \displaystyle b_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx.

    Su un intervallo [0,L] si sceglie una estensione:

    \displaystyle \text{estensione pari}\Rightarrow\text{serie di coseni}, \qquad \text{estensione dispari}\Rightarrow\text{serie di seni}.

    Commento operativo: le condizioni di Neumann tendono a portare serie di coseni; le condizioni di Dirichlet omogenee tendono a portare serie di seni.

    Semplificazioni per funzioni pari e dispari

    Se f è pari:

    \displaystyle b_n=0, \qquad a_n=\dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos nx\,dx.

    Se f è dispari:

    \displaystyle a_0=0,\qquad a_n=0, \qquad b_n=\dfrac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin nx\,dx.

    Commento passo passo:

    1. Prima controllare la simmetria del dominio.
    2. Poi controllare la simmetria della funzione.
    3. Solo dopo dimezzare l’integrale.
    4. Non basta che la formula “sembri” pari: il dominio deve essere simmetrico rispetto all’origine.

    Forma complessa

    La forma complessa è:

    \displaystyle f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{inx},

    con

    \displaystyle c_n=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx.

    Relazione con la forma reale:

    \displaystyle c_0=\dfrac{a_0}{2}, \qquad c_n=\dfrac{a_n-ib_n}{2}, \qquad c_{-n}=\dfrac{a_n+ib_n}{2}.

    Se f è reale, allora:

    \displaystyle c_{-n}=\overline{c_n}.

    Commento ingegneristico: la forma complessa è più compatta per sistemi lineari e filtraggio; la forma reale è più leggibile quando si devono calcolare coefficienti a mano.

    Ortogonalità e prodotto scalare

    In L^2([-\pi,\pi]):

    \displaystyle \langle f,g\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}\,dx.

    Ortogonalità:

    \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos nx\cos mx\,dx=0\quad(n\ne m),
    \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\sin mx\,dx=0\quad(n\ne m),
    \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin nx\cos mx\,dx=0.

    Questa è la ragione strutturale per cui i coefficienti si ottengono moltiplicando per un’armonica e integrando.

    Convergenza puntuale: Dirichlet

    Se f è continua a tratti, derivabile a tratti e ha un numero finito di discontinuità di salto, allora:

    \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{inx} \to \dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}.

    In un punto di continuità:

    \displaystyle S_f(x)=f(x).

    In un salto:

    \displaystyle S_f(x)=\dfrac{f(x^+)+f(x^-)}{2}.

    Commento operativo: se il grafico ha un salto, non bisogna aspettarsi che la serie converga al valore assegnato nel punto; converge alla media dei limiti laterali.

    Convergenza uniforme

    Un criterio utile:

    \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\lvert a_n\rvert+\lvert b_n\rvert\right)<+\infty \Rightarrow \text{convergenza uniforme e assoluta}.

    Se f è periodica, continua, C^1 a tratti e con raccordo periodico regolare, i coefficienti decadono abbastanza rapidamente da garantire buone proprietà di convergenza. Se invece ci sono salti, il decadimento è più lento e compare Gibbs.

    Parseval

    Nella forma reale:

    \displaystyle \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\lvert f(x)\rvert^2\,dx = \dfrac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2).

    Nella forma complessa:

    \displaystyle \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\lvert f(x)\rvert^2\,dx = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\lvert c_n\rvert^2.

    Commento ingegneristico: Parseval dice che l’energia del segnale è uguale alla somma delle energie delle sue armoniche. È il ponte tra tempo e frequenza.

    Fenomeno di Gibbs

    Vicino a un salto, le somme parziali oscillano e l’overshoot non scompare aumentando il numero di armoniche. La zona oscillante si restringe, ma il picco resta circa il 9\% del salto.

    Procedura da esercizio:

    1. Disegnare il prolungamento periodico.
    2. Individuare pari/dispari.
    3. Calcolare i coefficienti.
    4. Scrivere lo sviluppo.
    5. Dichiarare il valore di convergenza nei punti critici.
    6. Applicare Parseval solo se si è in L^2.

    3. Trasformata di Fourier

    La trasformata di Fourier passa dallo spettro discreto delle funzioni periodiche allo spettro continuo dei segnali non periodici. È centrale in segnali, telecomunicazioni, ottica, vibrazioni, EDP lineari e teoria delle distribuzioni.

    Definizione e inversa

    \displaystyle \widehat f(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt.
    \displaystyle f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\widehat f(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega.

    La definizione classica richiede almeno f\in L^1(\mathbb{R}). In L^2 si procede per estensione isometrica; nelle distribuzioni si procede per dualità.

    FormulaVoceEsercizio
    \widehat f(\omega)=\int_{\mathbb{R}}f(t)e^{-i\omega t}\,dtTrasformata di Fourier—
    f(t)=(2\pi)^{-1}\int_{\mathbb{R}}\widehat f(\omega)e^{i\omega t}\,d\omegaTrasformata di Fourier—
    \mathcal{F}\{f*g\}=\widehat f\,\widehat gConvoluzione—

    Proprietà fondamentali

    Operazione nel tempoTrasformataCommento
    af+bga\widehat f+b\widehat gLinearità
    f(t-t_0)e^{-i\omega t_0}\widehat f(\omega)Ritardo temporale
    e^{i\omega_0 t}f(t)\widehat f(\omega-\omega_0)Modulazione
    f(at)\lvert a\rvert^{-1}\widehat f\!\left(\dfrac{\omega}{a}\right)Compressione/dilatazione
    f'(t)i\omega\widehat f(\omega)Derivare amplifica le alte frequenze
    t f(t)i\,\partial_\omega\widehat f(\omega)Moltiplicare nel tempo deriva in frequenza
    (f*g)(t)\widehat f(\omega)\widehat g(\omega)Filtri LTI

    Commento operativo: la proprietà di convoluzione è il motivo per cui i sistemi lineari tempo-invarianti diventano moltiplicazioni in frequenza.

    Trasformate notevoli

    FunzioneTrasformataCondizioni
    \delta(t)1distribuzioni
    12\pi\delta(\omega)distribuzioni
    e^{-a t}H(t)(a+i\omega)^{-1}a>0
    e^{-a\lvert t\rvert}\dfrac{2a}{a^2+\omega^2}a>0
    e^{-\dfrac{t^2}{2\sigma^2}}\sigma\sqrt{2\pi}\,e^{-\dfrac{\sigma^2\omega^2}{2}}\sigma>0
    \operatorname{rect}\!\left(\dfrac{t}{T}\right)T\,\operatorname{sinc}\!\left(\dfrac{\omega T}{2}\right)convenzione \operatorname{sinc}u=\dfrac{\sin u}{u}

    Plancherel e Parseval continuo

    Formula di Plancherel:

    \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\lvert f(t)\rvert^2\,dt = \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert \widehat f(\omega)\rvert^2\,d\omega.

    Prodotto scalare:

    \displaystyle \int_{\mathbb{R}} f(t)\overline{g(t)}\,dt = \dfrac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\widehat f(\omega)\overline{\widehat g(\omega)}\,d\omega.

    Commento ingegneristico: l’energia del segnale si conserva a meno del fattore di normalizzazione. Cambiando convenzione, cambia il fattore ma non il significato.

    Principio di indeterminazione

    Se f è normalizzata in L^2 e ha media temporale t_0 e media spettrale \omega_0, allora:

    \displaystyle \Delta t\,\Delta \omega\ge \dfrac{1}{2}.

    Significato: un segnale molto localizzato nel tempo ha spettro largo; un segnale molto localizzato in frequenza è esteso nel tempo. Il caso limite è la gaussiana.

    Fourier ed EDP

    Per l’equazione del calore su tutta la retta:

    \displaystyle u_t=\kappa u_{xx}, \qquad u(x,0)=f(x),

    trasformando in x:

    \displaystyle \partial_t\widehat u(\omega,t)=-\kappa\omega^2\widehat u(\omega,t),

    quindi:

    \displaystyle \widehat u(\omega,t)=e^{-\kappa\omega^2t}\widehat f(\omega).

    Invertendo:

    \displaystyle u(x,t)=(G_t*f)(x), \qquad G_t(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-\dfrac{x^2}{4\kappa t}}.

    Commento: le alte frequenze vengono smorzate più velocemente perché il fattore e^{-\kappa\omega^2t} è tanto più piccolo quanto più grande è \omega.

    4. Trasformata di Laplace

    La trasformata di Laplace è il calcolo operatoriale dei sistemi causali. Trasforma derivate e integrali in algebra, incorporando condizioni iniziali e stabilità tramite la regione di convergenza nel piano s.

    Definizione unilatera

    Per t\ge 0:

    \displaystyle F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} =\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dt.

    La variabile è:

    \displaystyle s=\sigma+i\omega.

    La regione di convergenza è l’insieme dei valori di s per cui l’integrale converge. Per segnali causali razionali è di solito un semipiano a destra del polo più a destra.

    FormulaVoceEsercizio
    F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,dtTrasformata di Laplace—
    \mathcal{L}\{f'\}=sF(s)-f(0^+)Trasformata di Laplace—
    \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} tramite fratti sempliciFratti semplici—

    Proprietà fondamentali

    OperazioneTrasformataNota
    af+bgaF+bGLinearità
    f'(t)sF(s)-f(0^+)Condizione iniziale
    f''(t)s^2F(s)-sf(0^+)-f'(0^+)Sistemi del secondo ordine
    \int_0^t f(\tau)\,d\tau\dfrac{F(s)}{s}Integratore
    e^{at}f(t)F(s-a)Traslazione in s
    f(t-a)H(t-a)e^{-as}F(s)Ritardo
    (f*g)(t)F(s)G(s)Risposta impulsiva

    Trasformate notevoli

    f(t)F(s)Regione tipica
    1\dfrac{1}{s}\operatorname{Re}s>0
    t^n\dfrac{n!}{s^{n+1}}\operatorname{Re}s>0
    e^{at}\dfrac{1}{s-a}\operatorname{Re}s>a
    \sin\omega_0 t\dfrac{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}\operatorname{Re}s>0
    \cos\omega_0 t\dfrac{s}{s^2+\omega_0^2}\operatorname{Re}s>0
    \delta(t)1distribuzioni
    H(t-a)\dfrac{e^{-as}}{s}a>0

    Fratti semplici

    Per antitrasformare una funzione razionale:

    \displaystyle F(s)=\dfrac{P(s)}{Q(s)}.

    Procedura:

    1. Se \deg P\ge \deg Q, eseguire la divisione tra polinomi.
    2. Fattorizzare Q(s).
    3. Separare poli reali semplici, poli multipli e coppie complesse coniugate.
    4. Calcolare i coefficienti.
    5. Applicare la tabella inversa.

    Polo semplice s=p:

    \displaystyle A=\lim_{s\to p}(s-p)F(s).

    Polo di ordine m:

    \displaystyle A_k=\dfrac{1}{(m-k)!} \lim_{s\to p} \dfrac{d^{m-k}}{ds^{m-k}} \left[(s-p)^mF(s)\right].

    Commento: i poli determinano i modi temporali. Poli reali danno esponenziali; poli complessi coniugati danno oscillazioni smorzate; poli ripetuti introducono fattori polinomiali in t.

    Formula di Bromwich

    L’antitrasformata teorica è:

    \displaystyle f(t)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty}F(s)e^{st}\,ds,

    dove \gamma è scelto a destra di tutte le singolarità di F. In pratica, nei corsi di ingegneria si usa Bromwich come fondamento teorico e si calcola con residui o fratti semplici.

    Teorema del valore iniziale e finale

    Se le ipotesi di stabilità sono soddisfatte:

    \displaystyle f(0^+)=\lim_{s\to+\infty}sF(s).

    Se tutti i poli di sF(s) sono nel semipiano sinistro, tranne al più un polo semplice in zero:

    \displaystyle \lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{s\to 0}sF(s).

    Errore comune: applicare il valore finale a sistemi instabili o oscillanti puri.

    Heaviside e delta di Dirac

    Gradino:

    \displaystyle H(t-a)= \begin{cases} 0,&t<a,\\ 1,&t>a. \end{cases}

    Delta:

    \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-a)\,dt=f(a).

    Relazione distribuzionale:

    \displaystyle \dfrac{d}{dt}H(t-a)=\delta(t-a).

    5. Trasformata Z

    La trasformata Z è l’analogo discreto della trasformata di Laplace. È lo strumento naturale per equazioni alle differenze, filtri digitali, segnali campionati e controlli digitali.

    Definizione bilatera

    Per una successione x[n]:

    \displaystyle X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\} =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}.

    Per sequenze causali:

    \displaystyle X(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}x[n]z^{-n}.

    La regione di convergenza è essenziale: la stessa espressione algebrica può corrispondere a sequenze diverse.

    FormulaVoceEsercizio
    X(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}Trasformata Z—
    x[n-k]\leftrightarrow z^{-k}X(z)Trasformata Z—
    Equazioni alle differenze \to equazioni algebricheTrasformata Z—

    Proprietà fondamentali

    OperazioneTrasformataNota
    ax[n]+by[n]aX(z)+bY(z)Linearità
    x[n-k]z^{-k}X(z)Ritardo
    a^n x[n]X\!\left(\dfrac{z}{a}\right)Scalatura esponenziale
    n x[n]-z\,\dfrac{dX}{dz}Derivazione in z
    (x*y)[n]X(z)Y(z)Filtri discreti

    Trasformate notevoli

    SuccessioneTrasformataRegione causale
    \delta[n]1tutto il piano
    u[n]\dfrac{z}{z-1}\lvert z\rvert>1
    a^n u[n]\dfrac{z}{z-a}\lvert z\rvert>\lvert a\rvert
    n a^n u[n]\dfrac{az}{(z-a)^2}\lvert z\rvert>\lvert a\rvert
    \cos(\Omega n)u[n]\dfrac{z(z-\cos\Omega)}{z^2-2z\cos\Omega+1}\lvert z\rvert>1

    Equazioni alle differenze

    Un sistema lineare discreto:

    \displaystyle y[n]+a_1y[n-1]+\cdots+a_Ny[n-N] = b_0x[n]+\cdots+b_Mx[n-M].

    Con condizioni iniziali nulle:

    \displaystyle H(z)=\dfrac{Y(z)}{X(z)} = \dfrac{b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_Mz^{-M}} {1+a_1z^{-1}+\cdots+a_Nz^{-N}}.

    Stabilità BIBO per sistemi causali razionali:

    \displaystyle \text{tutti i poli di }H(z)\text{ devono stare dentro il cerchio unitario}.

    Commento operativo: in s la stabilità sta nel semipiano sinistro; in z sta dentro il cerchio unitario. Il campionamento collega i due piani con z=e^{sT}.

    6. Funzioni olomorfe

    L’analisi complessa è molto più rigida dell’analisi reale: una funzione derivabile in senso complesso in un aperto è automaticamente analitica, ha integrali controllati da Cauchy e una struttura locale determinata dalle sue serie.

    Derivabilità complessa

    Una funzione f:\Omega\subseteq\mathbb{C}\to\mathbb{C} è derivabile in z_0 se:

    \displaystyle f'(z_0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}

    esiste ed è indipendente dalla direzione con cui h tende a zero nel piano complesso.

    FormulaVoceEsercizio
    f'(z_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}Olomorfia—
    u_x=v_y,\ u_y=-v_xEquazioni di Cauchy-Riemann—
    Trasformazioni che conservano gli angoliTrasformazione conforme—

    Equazioni di Cauchy-Riemann

    Scrivendo:

    \displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),

    le equazioni di Cauchy-Riemann sono:

    \displaystyle u_x=v_y, \qquad u_y=-v_x.

    Se u,v sono C^1 in un aperto e soddisfano Cauchy-Riemann, allora f è olomorfa.

    Derivata:

    \displaystyle f'(z)=u_x+iv_x=v_y-iu_y.

    Commento: verificare Cauchy-Riemann in un punto non basta per concludere olomorfia in un dominio; servono ipotesi di regolarità in un intorno.

    Funzioni elementari complesse

    Esponenziale:

    \displaystyle e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y).

    Trigonometria:

    \displaystyle \sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.

    Logaritmo:

    \displaystyle \log z=\ln\lvert z\rvert+i\arg z.

    Il logaritmo complesso è multivalore perché:

    \displaystyle \arg z=\theta+2k\pi.

    Una branca principale tipica è:

    \displaystyle \operatorname{Log}z=\ln\lvert z\rvert+i\operatorname{Arg}z, \qquad \operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi).

    Funzioni armoniche

    Se f=u+iv è olomorfa, allora:

    \displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0, \qquad \Delta v=v_{xx}+v_{yy}=0.

    Le parti reale e immaginaria sono armoniche coniugate. Questo collega analisi complessa, potenziale, elettrostatica e fluidi piani irrotazionali.

    Trasformazioni conformi e di Möbius

    Una trasformazione olomorfa con derivata non nulla conserva gli angoli orientati.

    Trasformazione di Möbius:

    \displaystyle w=\dfrac{az+b}{cz+d}, \qquad ad-bc\ne 0.

    Proprietà:

    \displaystyle \text{rette e circonferenze vengono mandate in rette o circonferenze}.

    Commento ingegneristico: le trasformazioni conformi permettono di trasformare domini difficili in domini semplici, risolvere un problema di Laplace e riportare la soluzione nel dominio originale.

    7. Integrazione complessa

    Gli integrali complessi dipendono dal cammino, ma per funzioni olomorfe in domini adatti diventano fortemente vincolati. Questa rigidità è la base del teorema integrale di Cauchy, della formula integrale e dei residui.

    Integrale lungo una curva

    Se \gamma:[a,b]\to\mathbb{C} è regolare a tratti:

    \displaystyle \int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt.

    Stima ML:

    \displaystyle \left\lvert\int_\gamma f(z)\,dz\right\rvert \le M L,

    dove:

    \displaystyle M=\max_{z\in\gamma}\lvert f(z)\rvert, \qquad L=\text{lunghezza di }\gamma.
    FormulaVoceEsercizio
    \int_\gamma f(z)\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dtFunzioni di variabile complessa—
    \lvert\int_\gamma fdz\rvert\le MLTeorema integrale di Cauchy—
    \int_\gamma f(z)\,dz=0 per f olomorfa in dominio semplicemente connessoTeorema integrale di Cauchy—

    Teorema integrale di Cauchy

    Se f è olomorfa in un dominio semplicemente connesso \Omega e \gamma è una curva chiusa contenuta in \Omega, allora:

    \displaystyle \int_\gamma f(z)\,dz=0.

    Conseguenza: l’integrale di una funzione olomorfa dipende solo dagli estremi se esiste una primitiva.

    Formula integrale di Cauchy

    Se f è olomorfa dentro e sopra una curva chiusa semplice \gamma, e z_0 è interno a \gamma:

    \displaystyle f(z_0)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_\gamma\dfrac{f(z)}{z-z_0}\,dz.

    Per le derivate:

    \displaystyle f^{(n)}(z_0)=\dfrac{n!}{2\pi i} \int_\gamma\dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz.

    Commento passo passo:

    1. Cercare il punto singolare nel denominatore.
    2. Verificare che sia interno alla curva.
    3. Portare l’integrale nella forma della formula di Cauchy.
    4. Riconoscere se serve f(z_0) o una derivata.

    Liouville e principio del massimo

    Teorema di Liouville:

    \displaystyle f\text{ intera e limitata}\Rightarrow f\text{ costante}.

    Principio del massimo:

    \displaystyle \lvert f\rvert\text{ non ha massimi locali interni, salvo il caso costante}.

    Applicazione tipica: dimostrare il teorema fondamentale dell’algebra tramite Liouville.

    8. Serie di Taylor, Laurent e singolarità

    Le serie complesse descrivono il comportamento locale di una funzione. Taylor vale nei punti regolari; Laurent vale negli anelli e rivela la natura delle singolarità.

    Serie di Taylor complessa

    Se f è olomorfa in un disco centrato in z_0:

    \displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n,

    con:

    \displaystyle a_n=\dfrac{f^{(n)}(z_0)}{n!}.

    Il raggio di convergenza arriva fino alla singolarità più vicina.

    Serie di Laurent

    In una corona:

    \displaystyle r<\lvert z-z_0\rvert<R,

    si ha:

    \displaystyle f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n.

    Coefficienti:

    \displaystyle a_n=\dfrac{1}{2\pi i} \int_\gamma\dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz.
    FormulaVoceEsercizio
    f(z)=\sum_{n\ge0}a_n(z-z_0)^nSerie di Taylor—
    f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^nSerie di Laurent—
    Singolarità eliminabile, polo, essenzialeSingolarità isolate—

    Classificazione delle singolarità isolate

    Sia z_0 singolarità isolata.

    Eliminabile:

    \displaystyle a_n=0\quad\text{per ogni }n<0.

    Polo di ordine m:

    \displaystyle a_{-m}\ne0, \qquad a_n=0\quad\text{per ogni }n<-m.

    Essenziale:

    \displaystyle \text{infiniti coefficienti di parte principale sono non nulli}.

    Test con limiti:

    \displaystyle \lim_{z\to z_0}f(z)\in\mathbb{C} \Rightarrow \text{eliminabile},
    \displaystyle \lim_{z\to z_0}\lvert f(z)\rvert=+\infty \Rightarrow \text{polo}.

    Casorati-Weierstrass

    Se z_0 è una singolarità essenziale, allora l’immagine di ogni intorno bucato di z_0 è densa in \mathbb{C}.

    Commento: una singolarità essenziale non è solo “molto infinita”; è qualitativamente instabile. Vicino a essa la funzione assume valori arbitrariamente vicini a qualunque numero complesso.

    9. Teoria dei residui

    Il residuo è il coefficiente di (z-z_0)^{-1} nella serie di Laurent. È il solo coefficiente che sopravvive all’integrazione su una curva chiusa.

    Definizione

    Se:

    \displaystyle f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n,

    allora:

    \displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}.
    FormulaVoceEsercizio
    \operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}Residuo—
    \int_\gamma f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname{Res}(f,z_k)Teorema dei residui—
    Jordan per archi semicircolariLemma di Jordan—

    Calcolo dei residui

    Polo semplice:

    \displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)= \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z).

    Se:

    \displaystyle f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)}, \qquad h(z_0)=0, \qquad h'(z_0)\ne0,

    allora:

    \displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)=\dfrac{g(z_0)}{h'(z_0)}.

    Polo di ordine m:

    \displaystyle \operatorname{Res}(f,z_0)= \dfrac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right].

    Teorema dei residui

    Se f è olomorfa dentro e sopra \gamma tranne che in singolarità isolate z_1,\dots,z_N, allora:

    \displaystyle \int_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^N\operatorname{Res}(f,z_k).

    Procedura:

    1. Scegliere il contorno.
    2. Individuare le singolarità interne.
    3. Classificarle.
    4. Calcolare i residui.
    5. Applicare il teorema.
    6. Separare parte reale, immaginaria o integrale richiesto.

    Integrali impropri reali

    Per integrali del tipo:

    \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\,dx,

    con R razionale, si chiude spesso nel semipiano superiore. Se l’arco grande tende a zero:

    \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\,dx = 2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_k>0}\operatorname{Res}(R,z_k).

    Per integrali oscillanti:

    \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{iax}R(x)\,dx, \qquad a>0,

    si chiude nel semipiano superiore usando il lemma di Jordan.

    Integrali trigonometrici

    Per:

    \displaystyle \int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta,

    si pone:

    \displaystyle z=e^{i\theta}, \qquad \cos\theta=\dfrac{z+z^{-1}}{2}, \qquad \sin\theta=\dfrac{z-z^{-1}}{2i}, \qquad d\theta=\dfrac{dz}{iz}.

    L’integrale diventa un integrale sulla circonferenza unitaria.

    10. Equazioni alle derivate parziali

    Le EDP descrivono campi: temperatura, spostamento, potenziale, pressione, concentrazione. In Analisi III si studiano soprattutto equazioni lineari del secondo ordine, perché sono il prototipo matematico di diffusione, propagazione e stati stazionari.

    Classificazione

    In due variabili:

    \displaystyle Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_x+Eu_y+Fu=G.

    Discriminante:

    \displaystyle \Delta=B^2-4AC.

    Classificazione:

    \displaystyle \Delta<0\Rightarrow\text{ellittica}, \qquad \Delta=0\Rightarrow\text{parabolica}, \qquad \Delta>0\Rightarrow\text{iperbolica}.
    FormulaVoceEsercizio
    B^2-4AC<0 ellitticaEDP — Classificazione e Metodi Generali—
    u_t=\kappa u_{xx}Equazione del calore—
    u_{tt}=c^2u_{xx}Equazione delle onde—
    \Delta u=0Equazione di Laplace—
    \Delta u=fEquazione di Poisson—

    Condizioni al contorno

    Dirichlet:

    \displaystyle u=g\quad\text{su }\partial\Omega.

    Neumann:

    \displaystyle \dfrac{\partial u}{\partial n}=h\quad\text{su }\partial\Omega.

    Robin:

    \displaystyle \alpha u+\beta\dfrac{\partial u}{\partial n}=g\quad\text{su }\partial\Omega.

    Commento fisico:

    1. Dirichlet assegna il valore del campo.
    2. Neumann assegna il flusso normale.
    3. Robin modella scambio con l’ambiente, impedenze o condizioni miste.

    Separazione delle variabili

    Si cerca:

    \displaystyle u(x,t)=X(x)T(t).

    Sostituendo nell’EDP si separano le variabili:

    \displaystyle \dfrac{T'}{\kappa T}=\dfrac{X''}{X}=-\lambda.

    Si ottengono due EDO:

    \displaystyle X''+\lambda X=0, \qquad T'+\kappa\lambda T=0.

    Il problema spaziale con condizioni al contorno determina gli autovalori \lambda_n e le autofunzioni X_n.

    Equazione del calore

    Su 0<x<L:

    \displaystyle u_t=\kappa u_{xx}, \qquad u(0,t)=u(L,t)=0, \qquad u(x,0)=f(x).

    Soluzione:

    \displaystyle u(x,t)=\sum_{n=1}^{+\infty} b_n e^{-\kappa\left(\dfrac{n\pi}{L}\right)^2t} \sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right).

    Coefficienti:

    \displaystyle b_n=\dfrac{2}{L}\int_0^L f(x) \sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)\,dx.

    Nucleo del calore sulla retta:

    \displaystyle G_t(x)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-\dfrac{x^2}{4\kappa t}}.
    \displaystyle u(x,t)=(G_t*f)(x).

    Commento: il calore regolarizza. Anche dati iniziali poco regolari diventano più lisci per t>0.

    Equazione delle onde

    Su tutta la retta:

    \displaystyle u_{tt}=c^2u_{xx}, \qquad u(x,0)=f(x), \qquad u_t(x,0)=g(x).

    Formula di D’Alembert:

    \displaystyle u(x,t)=\dfrac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2} +\dfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(\xi)\,d\xi.

    Commento: l’informazione si propaga con velocità finita c. Il valore in (x,t) dipende solo dall’intervallo di dipendenza [x-ct,x+ct].

    Equazione di Laplace e formula di Poisson

    Nel disco unitario:

    \displaystyle \Delta u=0, \qquad u(e^{i\theta})=f(\theta).

    Formula di Poisson:

    \displaystyle u(r,\theta)=\dfrac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \dfrac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-\phi)+r^2} f(\phi)\,d\phi.

    Commento: il valore interno è una media pesata dei valori al bordo. Questo è il volto analitico del principio del massimo.

    Equazione di Poisson e funzione di Green

    Problema:

    \displaystyle \Delta u=f\quad\text{in }\Omega, \qquad u=0\quad\text{su }\partial\Omega.

    Con una funzione di Green G(x,\xi):

    \displaystyle u(x)=\int_\Omega G(x,\xi)f(\xi)\,d\xi.

    Soluzione fondamentale in \mathbb{R}^3:

    \displaystyle \Phi(x)= -\dfrac{1}{4\pi\lvert x\rvert}, \qquad \Delta\Phi=\delta.

    In \mathbb{R}^2:

    \displaystyle \Phi(x)=\dfrac{1}{2\pi}\log\lvert x\rvert.

    Sturm-Liouville

    Forma generale:

    \displaystyle -\dfrac{d}{dx}\left(p(x)y'(x)\right)+q(x)y(x)=\lambda w(x)y(x).

    Con condizioni al contorno appropriate, gli autovalori sono reali e le autofunzioni sono ortogonali rispetto al peso w:

    \displaystyle \int_a^b y_m(x)y_n(x)w(x)\,dx=0 \qquad(m\ne n).

    Sviluppo:

    \displaystyle f(x)\sim\sum_{n=1}^{+\infty}c_n y_n(x), \qquad c_n= \dfrac{\int_a^b f(x)y_n(x)w(x)\,dx} {\int_a^b y_n(x)^2w(x)\,dx}.

    Commento: Fourier è un caso particolare di Sturm-Liouville. Le “armoniche” diventano autofunzioni dell’operatore spaziale.

    11. Distribuzioni e spazi funzionali

    Questa sezione mette ordine nel linguaggio moderno necessario per Fourier, EDP e segnali impulsivi. L’obiettivo non è fare analisi funzionale astratta, ma sapere in quale spazio vivono funzioni, soluzioni, derivate e trasformate.

    Spazi L^p

    Per 1\le p<+\infty:

    \displaystyle L^p(\Omega)= \left\{ f:\int_\Omega \lvert f(x)\rvert^p\,dx<+\infty \right\}.

    Norma:

    \displaystyle \lVert f\rVert_p= \left(\int_\Omega \lvert f(x)\rvert^p\,dx\right)^{\dfrac{1}{p}}.

    Per p=+\infty:

    \displaystyle \lVert f\rVert_\infty=\operatorname{ess\,sup}_{x\in\Omega}\lvert f(x)\rvert.
    FormulaVoceEsercizio
    \lVert f\rVert_p=(\int\lvert f\rvert^p)^{\dfrac{1}{p}}Norma—
    L^2 con prodotto scalare è HilbertSpazi di Hilbert—
    \langle T',\varphi\rangle=-\langle T,\varphi'\rangleDistribuzioni—

    Disuguaglianza di Hölder

    Se:

    \displaystyle \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1,

    allora:

    \displaystyle \lVert fg\rVert_1\le \lVert f\rVert_p\lVert g\rVert_q.

    Caso p=q=2: Cauchy-Schwarz.

    Disuguaglianza di Minkowski

    \displaystyle \lVert f+g\rVert_p\le \lVert f\rVert_p+\lVert g\rVert_p.

    Commento: Minkowski è la disuguaglianza triangolare negli spazi L^p; senza di essa \lVert\cdot\rVert_p non sarebbe una norma.

    Spazi di Hilbert

    Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale completo con prodotto scalare. In L^2:

    \displaystyle \langle f,g\rangle=\int_\Omega f(x)\overline{g(x)}\,dx.

    Norma associata:

    \displaystyle \lVert f\rVert_2=\sqrt{\langle f,f\rangle}.

    Commento ingegneristico: L^2 è lo spazio dei segnali a energia finita. Fourier, proiezioni ortogonali, minimi quadrati e modi normali vivono naturalmente qui.

    Distribuzioni

    Una funzione test è una funzione liscia a supporto compatto:

    \displaystyle \varphi\in C_c^\infty(\Omega).

    Una distribuzione è un funzionale lineare continuo:

    \displaystyle T:C_c^\infty(\Omega)\to\mathbb{C}.

    Si scrive:

    \displaystyle \langle T,\varphi\rangle.

    Distribuzione regolare associata a f localmente integrabile:

    \displaystyle \langle T_f,\varphi\rangle= \int_\Omega f(x)\varphi(x)\,dx.

    Derivata distribuzionale:

    \displaystyle \langle T',\varphi\rangle=-\langle T,\varphi'\rangle.

    Delta di Dirac:

    \displaystyle \langle\delta_a,\varphi\rangle=\varphi(a).

    Distribuzioni temperate e Fourier

    Le distribuzioni temperate sono distribuzioni che agiscono sullo spazio di Schwartz \mathcal{S}(\mathbb{R}^n). Per esse la trasformata di Fourier si definisce per dualità:

    \displaystyle \langle \widehat T,\varphi\rangle= \langle T,\widehat\varphi\rangle

    a meno delle costanti imposte dalla convenzione scelta.

    Esempi:

    \displaystyle \mathcal{F}\{\delta\}=1, \qquad \mathcal{F}\{1\}=2\pi\delta, \qquad \mathcal{F}\{H'\}=\mathcal{F}\{\delta\}=1.

    Commento: le distribuzioni permettono di dare senso matematico a impulsi, carichi concentrati, sorgenti puntiformi, derivate di segnali discontinui e soluzioni fondamentali di EDP.

    12. Procedure sintetiche per l’esame

    Calcolare una serie di Fourier

    1. Stabilire periodo e intervallo.
    2. Disegnare il prolungamento periodico.
    3. Controllare pari/dispari.
    4. Calcolare a_0, a_n, b_n o c_n.
    5. Scrivere la serie.
    6. Dichiarare convergenza nei punti di continuità e di salto.
    7. Usare Parseval se richiesto da somme numeriche o energia.

    Risolvere con Laplace

    1. Trasformare l’EDO o il sistema.
    2. Inserire condizioni iniziali nei termini trasformati.
    3. Risolvere algebricamente per Y(s).
    4. Scomporre in fratti semplici.
    5. Antitrasformare.
    6. Controllare valore iniziale e comportamento asintotico.

    Risolvere con Z

    1. Scrivere l’equazione alle differenze.
    2. Applicare la trasformata Z, includendo eventuali condizioni iniziali.
    3. Isolare Y(z) o H(z).
    4. Studiare poli, zeri e regione di convergenza.
    5. Antitrasformare con tabella o fratti semplici.
    6. Controllare stabilità rispetto al cerchio unitario.

    Calcolare un integrale con residui

    1. Trasformare l’integrale reale in un integrale complesso.
    2. Scegliere il contorno.
    3. Dimostrare che il contributo degli archi tende a zero.
    4. Individuare i poli interni.
    5. Calcolare i residui.
    6. Applicare il teorema dei residui.
    7. Estrarre la parte reale o immaginaria richiesta.

    Risolvere una EDP per separazione

    1. Classificare l’EDP.
    2. Leggere condizioni iniziali e al contorno.
    3. Provare u=X(x)T(t).
    4. Risolvere il problema agli autovalori spaziale.
    5. Espandere il dato iniziale in autofunzioni.
    6. Sommare i modi temporali.
    7. Verificare condizioni al contorno e dato iniziale.

    13. Errori comuni

    1. Confondere serie di Fourier e trasformata di Fourier: la prima è per spettri discreti periodici, la seconda per spettri continui.
    2. Dimenticare il fattore \dfrac{1}{2\pi} nell’inversione di Fourier.
    3. Applicare Parseval senza controllare che la funzione sia in L^2.
    4. Usare Laplace senza specificare causalità e regione di convergenza.
    5. Fare fratti semplici prima di rendere propria la funzione razionale.
    6. Ignorare la regione di convergenza nella trasformata Z.
    7. Verificare Cauchy-Riemann in un solo punto e concludere olomorfia in un dominio.
    8. Applicare il teorema di Cauchy in presenza di singolarità interne.
    9. Dimenticare poli sulla curva di integrazione.
    10. Confondere polo di ordine m con zero di ordine m.
    11. Usare il lemma di Jordan con il segno esponenziale sbagliato.
    12. Imporre condizioni al contorno incompatibili con il tipo di EDP.
    13. Scambiare soluzione classica, debole e distribuzionale.

    14. Indice rapido delle formule

    TemaFormula guidaVoce
    Fourier realef\sim \dfrac{a_0}{2}+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)Serie di Fourier
    Fourier complessaf\sim\sum c_ne^{inx}Serie di Fourier
    Fourier continua\widehat f=\int f e^{-i\omega t}dtTrasformata di Fourier
    LaplaceF(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dtTrasformata di Laplace
    ZX(z)=\sum x[n]z^{-n}Trasformata Z
    Cauchy-Riemannu_x=v_y,\ u_y=-v_xEquazioni di Cauchy-Riemann
    Cauchy integralef(z_0)=(2\pi i)^{-1}\int \dfrac{f(z)}{z-z_0}\,dzFormula integrale di Cauchy
    Laurentf=\sum_{-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^nSerie di Laurent
    Residui\int_\gamma f dz=2\pi i\sum\operatorname{Res}(f,z_k)Teorema dei residui
    Caloreu_t=\kappa u_{xx}Equazione del calore
    Ondeu_{tt}=c^2u_{xx}Equazione delle onde
    Laplace EDP\Delta u=0Equazione di Laplace
    Poisson EDP\Delta u=fEquazione di Poisson
    Sturm-Liouville-(py')'+qy=\lambda wyProblema di Sturm-Liouville
    Distribuzioni\langle T',\varphi\rangle=-\langle T,\varphi'\rangleDistribuzioni

    Ultimo aggiornamento:

    Atlante dell’Ingegneria · Portale di divulgazione tecnico-scientifica

    © 2026 ingegnerismo.it · Privacy · · Ultimo aggiornamento: