Formulario di Analisi Matematica III

Questo formulario raccoglie gli strumenti centrali di Analisi Matematica III per ingegneria. Si dà per acquisito il linguaggio di Analisi Matematica II: funzioni di più variabili, campi vettoriali, integrazione multipla, teoremi integrali, operatori differenziali e prime equazioni differenziali.

Il corso si muove su tre assi collegati: rappresentare funzioni e segnali tramite frequenze, studiare funzioni di variabile complessa e usare questi strumenti per risolvere equazioni differenziali e problemi della fisica matematica. Le formule non vanno lette come ricette isolate: ogni trasformata richiede ipotesi di convergenza, ogni integrale complesso richiede un dominio e ogni equazione differenziale richiede condizioni iniziali o al contorno.

1. Segnali, frequenze e notazione complessa

Esponenziale complesso

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$

L’esponenziale complesso unifica seno e coseno in una sola funzione. La parte reale è il coseno, la parte immaginaria è il seno. In Analisi III questa formula è il ponte tra oscillazioni reali e calcolo algebrico: derivare, integrare e sommare esponenziali complessi è spesso più semplice che lavorare separatamente con funzioni trigonometriche.

Oscillazione armonica

$$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)$$

$A$ è l’ampiezza, $\omega$ è la pulsazione e $\varphi$ è la fase. La frequenza ordinaria è $f=\omega/(2\pi)$ e misura cicli al secondo. Un segnale armonico è il mattone elementare dell’analisi in frequenza: segnali più complessi vengono scomposti come combinazioni o sovrapposizioni di armoniche.

Forma fasoriale

$$A\cos(\omega t+\varphi)=\operatorname{Re}\left(Ae^{i\varphi}e^{i\omega t}\right)$$

Il fasore $Ae^{i\varphi}$ contiene ampiezza e fase. Il fattore $e^{i\omega t}$ contiene l’evoluzione temporale. Nei sistemi lineari stazionari, lavorare con fasori permette di trasformare derivate temporali in moltiplicazioni per $i\omega$.

Derivata e integrale di un esponenziale armonico

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e^{i\omega t}=i\omega e^{i\omega t},\qquad \int e^{i\omega t}\,\mathrm{d}t=\frac{e^{i\omega t}}{i\omega}+C\quad(\omega\ne0)$$

Un’esponenziale complessa è autovettore dell’operatore derivata: derivarla non cambia la forma del segnale, cambia solo il fattore moltiplicativo. Questo è il motivo profondo per cui Fourier diagonalizza operatori lineari a coefficienti costanti.

Periodo e frequenza fondamentale

$$T>0,\qquad f(t+T)=f(t),\qquad \omega_0=\frac{2\pi}{T}$$

Una funzione è periodica se si ripete dopo un intervallo $T$. La pulsazione fondamentale $\omega_0$ è l’unità naturale delle armoniche: le frequenze della serie di Fourier sono multipli interi di $\omega_0$. Il periodo deve essere scelto con attenzione: un multiplo del periodo è ancora un periodo, ma non necessariamente quello fondamentale.

Ortogonalità trigonometrica su $[-\pi,\pi]$

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)\,\mathrm{d}x=0\quad(n\ne m)$$ $$\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,\mathrm{d}x=0\quad(n\ne m),\qquad \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)\,\mathrm{d}x=0$$

Le armoniche trigonometriche diverse sono ortogonali rispetto al prodotto scalare integrale. L’ortogonalità significa assenza di sovrapposizione energetica nel senso del prodotto scalare. È la ragione per cui i coefficienti di Fourier si calcolano proiettando la funzione sulle singole armoniche.

Prodotto scalare in $L^2$

$$\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)\overline{g(x)}\,\mathrm{d}x$$

Il coniugato su $g$ è necessario quando le funzioni sono complesse: garantisce che $\langle f,f\rangle$ sia reale e non negativo. Questo prodotto scalare misura correlazione tra funzioni. In teoria dei segnali rappresenta una misura di somiglianza energetica tra forme d’onda.

Norma quadratica

$$\lVert f\rVert_2=\left(\int_a^b |f(x)|^2\,\mathrm{d}x\right)^{1/2}$$

La norma $L^2$ misura l’energia quadratica della funzione sull’intervallo. Due funzioni possono differire in punti isolati e avere la stessa norma, perché l’integrale non vede modifiche su insiemi di misura nulla. Questa idea è naturale per segnali fisici, dove conta l’energia distribuita, non il valore in un singolo punto.

2. Serie di Fourier reali

Sviluppo trigonometrico su $[-\pi,\pi]$

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$

La serie di Fourier rappresenta una funzione periodica come somma di armoniche. Il simbolo $\sim$ indica associazione tramite coefficienti, non automaticamente uguaglianza puntuale in ogni punto. La convergenza dipende dalla regolarità della funzione e dal tipo di convergenza considerato.

Coefficienti reali

$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x,\qquad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x$$

I coefficienti si ottengono proiettando $f$ sulle armoniche corrispondenti. $a_n$ misura la componente pari di frequenza $n$, mentre $b_n$ misura la componente dispari. Il coefficiente $a_0/2$ rappresenta il valore medio della funzione sul periodo.

Valore medio

$$\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,\mathrm{d}x$$

Il termine costante della serie è la media della funzione sul periodo. Fisicamente è la componente continua o valore DC del segnale. Se il segnale oscilla simmetricamente attorno a zero, questo termine può annullarsi.

Serie su un intervallo $[-L,L]$

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right)$$

Quando il periodo è $2L$, la pulsazione fondamentale è $\pi/L$. Le armoniche sono multipli interi di questa pulsazione. La formula su $[-\pi,\pi]$ è solo il caso normalizzato $L=\pi$.

Coefficienti su $[-L,L]$

$$a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x,\qquad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$

Il fattore $1/L$ normalizza l’ortogonalità delle armoniche sull’intervallo. Gli argomenti dei seni e dei coseni si adattano alla lunghezza del periodo. Usare formule di $[-\pi,\pi]$ senza riscalare è un errore frequente.

Funzione pari

$$f(-x)=f(x)\quad\Longrightarrow\quad b_n=0$$

Una funzione pari non contiene componenti sinusoidali, perché il seno è dispari e il prodotto tra pari e dispari è dispari. L’integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico è nullo. La serie di Fourier di una funzione pari è quindi una serie di soli coseni.

Funzione dispari

$$f(-x)=-f(x)\quad\Longrightarrow\quad a_n=0$$

Una funzione dispari non contiene componenti cosenoidali né termine medio, perché il coseno è pari e il prodotto tra dispari e pari è dispari. La serie corrispondente è una serie di soli seni. Questa simmetria semplifica molto i conti e riduce il rischio di errori nei coefficienti.

Convergenza puntuale di Dirichlet

$$S_f(x)\to \frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

Se $f$ è regolare a tratti, la serie di Fourier converge nel punto $x$ alla media dei limiti laterali. Nei punti di continuità, questa media coincide con $f(x)$. Nei punti di salto, la serie non sceglie né il valore sinistro né quello destro: converge al valore intermedio.

Fenomeno di Gibbs

$$\text{vicino a un salto: sovraelongazione persistente}$$

Le somme parziali di Fourier oscillano vicino alle discontinuità di salto. Aumentando il numero di termini, la zona oscillante si restringe, ma la sovraelongazione relativa non scompare. Questo fenomeno è importante nei segnali, perché tagliare lo spettro produce oscillazioni vicino ai fronti ripidi.

Identità di Parseval

$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,\mathrm{d}x = \frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2)$$

Parseval afferma che l’energia quadratica nel dominio del tempo o dello spazio coincide con la somma delle energie delle componenti armoniche. È una formula di conservazione dell’energia tra rappresentazione fisica e rappresentazione spettrale.

Decadimento dei coefficienti

$$f\ \text{più regolare}\quad\Longrightarrow\quad a_n,b_n\ \text{decadono più rapidamente}$$

La regolarità della funzione determina la rapidità con cui i coefficienti di Fourier vanno a zero. Discontinuità e spigoli producono coefficienti lenti; funzioni lisce producono coefficienti rapidi. Questa relazione è fondamentale per approssimazione numerica e compressione dei segnali.

3. Forma complessa della serie di Fourier

Serie complessa

$$f(x)\sim \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n e^{inx}$$

La forma complessa raccoglie seno e coseno in esponenziali complessi. Gli indici negativi rappresentano frequenze negative, utili matematicamente per simmetria dello spettro. Per funzioni reali, i coefficienti soddisfano una simmetria di coniugio.

Coefficienti complessi

$$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,\mathrm{d}x$$

Il coefficiente $c_n$ misura quanto della frequenza $n$ è presente nel segnale. Il segno negativo nell’esponenziale del coefficiente è convenzionale e deve essere coerente con il segno positivo nello sviluppo. Cambiare convenzione cambia i segni nelle formule successive.

Relazione con i coefficienti reali

$$c_0=\frac{a_0}{2},\qquad c_n=\frac{a_n-i b_n}{2},\qquad c_{-n}=\frac{a_n+i b_n}{2}$$

Queste relazioni trasformano la rappresentazione trigonometrica in rappresentazione complessa. Per funzioni reali si ha $c_{-n}=\overline{c_n}$. Questa simmetria garantisce che la somma complessa finale abbia valore reale.

Ortogonalità degli esponenziali

$$\int_{-\pi}^{\pi}e^{inx}e^{-imx}\,\mathrm{d}x = \begin{cases} 2\pi,& n=m,\\ 0,& n\ne m. \end{cases}$$

Gli esponenziali complessi formano una base ortogonale nel senso del prodotto scalare $L^2$. La formula spiega direttamente il calcolo dei coefficienti: moltiplicando per $e^{-imx}$ e integrando si isola il coefficiente $c_m$.

Parseval in forma complessa

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,\mathrm{d}x = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|^2$$

L’energia media della funzione è la somma dei moduli quadrati dei coefficienti complessi. Questa forma è particolarmente comoda in teoria dei segnali, perché lo spettro è descritto direttamente dai coefficienti $c_n$.

Derivazione formale della serie

$$f'(x)\sim \sum_{n=-\infty}^{+\infty}in\,c_n e^{inx}$$

Derivare nel dominio fisico moltiplica ogni armonica per $in$. Le alte frequenze vengono amplificate dal fattore $n$, perciò la derivazione è un’operazione sensibile a rumore e oscillazioni rapide. La formula richiede ipotesi di regolarità per essere usata come uguaglianza valida.

Integrazione formale della serie

$$\int f(x)\,\mathrm{d}x \sim C+\sum_{n\ne0}\frac{c_n}{in}e^{inx}$$

Integrare divide ogni armonica non nulla per $in$, attenuando le alte frequenze. Il termine medio $c_0$ va trattato separatamente, perché l’integrale di una costante produce un termine lineare. Questa differenza è importante nei segnali con componente continua.

4. Trasformata di Fourier

Trasformata di Fourier

$$\widehat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,\mathrm{d}t$$

La trasformata di Fourier passa dal dominio del tempo o dello spazio al dominio delle pulsazioni. $\widehat{f}(\omega)$ misura ampiezza e fase della componente armonica $e^{i\omega t}$. L’integrale richiede ipotesi di convergenza, per esempio integrabilità assoluta, oppure va interpretato in senso più debole.

Antitrasformata

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\widehat{f}(\omega)e^{i\omega t}\,\mathrm{d}\omega$$

Con questa convenzione, il fattore $1/(2\pi)$ compare nell’antitrasformata. Altre convenzioni distribuiscono diversamente i fattori $2\pi$. L’importante è mantenere coerenza in tutte le proprietà: derivazione, convoluzione e Parseval cambiano costanti se cambia convenzione.

Linearità

$$\mathcal{F}\{\alpha f+\beta g\} = \alpha\widehat{f}+\beta\widehat{g}$$

La trasformata è un operatore lineare. Sommare segnali nel tempo significa sommare i rispettivi spettri. Questa proprietà è alla base dell’analisi dei sistemi lineari, dove gli effetti di più ingressi si sovrappongono.

Traslazione nel tempo

$$\mathcal{F}\{f(t-t_0)\} = e^{-i\omega t_0}\widehat{f}(\omega)$$

Ritardare un segnale non cambia il modulo dello spettro, ma introduce una fase lineare in $\omega$. Questo formalizza l’idea che una traslazione temporale non altera il contenuto in frequenza, ma cambia l’allineamento temporale delle componenti armoniche.

Modulazione

$$\mathcal{F}\{e^{i\omega_0 t}f(t)\} = \widehat{f}(\omega-\omega_0)$$

Moltiplicare un segnale per un’esponenziale complessa sposta il suo spettro. Questa proprietà è centrale nelle telecomunicazioni: la modulazione porta un segnale da banda base a una banda attorno a una portante.

Scalatura

$$\mathcal{F}\{f(at)\} = \frac{1}{|a|}\widehat{f}\left(\frac{\omega}{a}\right) \qquad(a\ne0)$$

Comprimere un segnale nel tempo dilata il suo spettro, e viceversa. Il fattore $1/|a|$ conserva l’area coerentemente con il cambio di variabile. Questo esprime il principio qualitativo tempo-frequenza: eventi brevi richiedono spettro più largo.

Derivazione

$$\mathcal{F}\{f'(t)\}=i\omega\widehat{f}(\omega)$$

La derivata nel tempo diventa moltiplicazione per $i\omega$ in frequenza. Le alte frequenze vengono amplificate proporzionalmente a $|\omega|$. Per questo la derivazione numerica è instabile rispetto al rumore ad alta frequenza.

Moltiplicazione per $t$

$$\mathcal{F}\{t f(t)\}=i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega}\widehat{f}(\omega)$$

Moltiplicare per la variabile temporale corrisponde a derivare lo spettro. È la proprietà duale della derivazione. Mostra che localizzazione temporale e regolarità spettrale sono strettamente collegate.

Convoluzione

$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)g(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau$$

La convoluzione combina due funzioni sommando tutti i contributi ritardati di una pesati dall’altra. Nei sistemi lineari tempo-invarianti, l’uscita è la convoluzione tra ingresso e risposta impulsiva. L’integrale richiede condizioni di integrabilità o interpretazioni generalizzate.

Teorema della convoluzione

$$\mathcal{F}\{f*g\}=\widehat{f}\,\widehat{g}$$

La convoluzione nel tempo diventa prodotto in frequenza. Questa proprietà trasforma equazioni integrali e sistemi lineari in moltiplicazioni spettrali. È uno dei motivi principali per cui Fourier è così efficace nell’analisi dei segnali.

Prodotto nel tempo

$$\mathcal{F}\{fg\} = \frac{1}{2\pi}\widehat{f}*\widehat{g}$$

Il prodotto punto per punto nel tempo diventa convoluzione in frequenza, con costante dipendente dalla convenzione scelta. Questo spiega perché finestrare un segnale, cioè moltiplicarlo per una finestra temporale, allarga e modifica il suo spettro.

Parseval-Plancherel

$$\int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|\widehat{f}(\omega)|^2\,\mathrm{d}\omega$$

L’energia nel dominio temporale coincide, a fattore costante, con l’energia nel dominio delle frequenze. La trasformata di Fourier non crea né distrugge energia: la ridistribuisce in una rappresentazione diversa.

Trasformata della gaussiana

$$f(t)=e^{-a t^2},\quad a>0 \qquad\Longrightarrow\qquad \widehat{f}(\omega)=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{-\omega^2/(4a)}$$

La gaussiana si trasforma in un’altra gaussiana. Questo la rende fondamentale in probabilità, diffusione, filtri e analisi tempo-frequenza. Il parametro $a$ controlla larghezza temporale e larghezza spettrale in modo inverso.

5. Trasformata di Laplace

Trasformata di Laplace

$$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}\,\mathrm{d}t$$

La trasformata di Laplace è pensata per segnali causali, definiti da $t=0$ in poi. Il parametro $s=\sigma+i\omega$ contiene smorzamento e oscillazione. Il fattore $e^{-st}$ può rendere convergenti segnali che non avrebbero trasformata di Fourier ordinaria.

Ascissa di convergenza

$$\int_0^{+\infty}|f(t)e^{-st}|\,\mathrm{d}t<+\infty$$

La trasformata di Laplace non esiste automaticamente per ogni $s$. Di solito converge in un semipiano $\operatorname{Re}s>\sigma_0$. La regione di convergenza è parte dell’informazione della trasformata, soprattutto quando si confrontano segnali con la stessa espressione algebrica.

Linearità

$$\mathcal{L}\{\alpha f+\beta g\} = \alpha F(s)+\beta G(s)$$

La linearità permette di trasformare equazioni differenziali lineari termine per termine. In circuiti, controlli e vibrazioni, ingressi composti possono essere analizzati come somma di risposte elementari.

Trasformate elementari

$$\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}},\qquad \mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}$$

Queste formule valgono nelle rispettive regioni di convergenza. Per esempio $\mathcal{L}\{e^{at}\}$ converge per $\operatorname{Re}s>a$. I polinomi in $t$ producono potenze di $1/s$, mentre gli esponenziali spostano il polo.

Seno e coseno

$$\mathcal{L}\{\cos\omega t\}=\frac{s}{s^2+\omega^2},\qquad \mathcal{L}\{\sin\omega t\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$

Le funzioni trigonometriche producono denominatori quadratici. I poli sono in $s=\pm i\omega$, coerentemente con oscillazioni pure non smorzate. Se compare uno smorzamento $e^{at}$, i poli vengono traslati di $a$.

Derivata prima

$$\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0^+)$$

Derivare nel tempo diventa moltiplicare per $s$, ma compare il valore iniziale. Questa è la grande forza di Laplace: le condizioni iniziali entrano direttamente nell’equazione trasformata, senza dover essere imposte dopo.

Derivata seconda

$$\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^2F(s)-s f(0^+)-f'(0^+)$$

Ogni derivata aumenta la potenza di $s$ e introduce condizioni iniziali successive. Per equazioni del secondo ordine, come oscillatori e circuiti RLC, questa formula trasforma l’equazione differenziale in un’equazione algebrica per $F(s)$.

Integrale nel tempo

$$\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)\,\mathrm{d}\tau\right\} = \frac{F(s)}{s}$$

L’integrazione temporale divide per $s$. Questa proprietà è coerente con l’idea che l’integrale sia inverso della derivata, ma vale con condizioni causali e integrale a partire da zero.

Traslazione nel tempo

$$\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)\qquad(a>0)$$

Ritardare un segnale causale di $a$ secondi moltiplica la trasformata per $e^{-as}$. La funzione gradino $u(t-a)$ assicura che il segnale ritardato sia nullo prima dell’istante $a$. Il fattore esponenziale codifica il ritardo.

Traslazione nel dominio $s$

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a)$$

Moltiplicare nel tempo per un esponenziale sposta la trasformata lungo l’asse reale di $s$. Se $a<0$, introduce smorzamento; se $a>0$, crescita. La regione di convergenza si sposta insieme alla trasformata.

Convoluzione causale

$$(f*g)(t)=\int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau$$

La convoluzione causale somma solo contributi passati, da $0$ a $t$. È la forma naturale della risposta di sistemi causali: l’uscita a un certo istante dipende dalla storia precedente dell’ingresso e dalla risposta impulsiva.

Laplace della convoluzione

$$\mathcal{L}\{f*g\}=F(s)G(s)$$

La convoluzione nel tempo diventa prodotto nel dominio di Laplace. Questa proprietà trasforma sistemi lineari in funzioni di trasferimento: uscita trasformata uguale a ingresso trasformato per risposta del sistema.

Valore iniziale e finale

$$\lim_{t\to0^+}f(t)=\lim_{s\to+\infty}sF(s)$$ $$\lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{s\to0^+}sF(s)$$

I teoremi del valore iniziale e finale richiedono ipotesi di esistenza e stabilità. Il valore finale, in particolare, non si applica se il segnale non converge o se ci sono poli nel semipiano destro o sull’asse immaginario non ammessi dalle ipotesi.

6. Trasformata Z e segnali discreti

Sequenza discreta

$$x[n],\qquad n\in\mathbb{Z}$$

Una sequenza è un segnale definito su istanti discreti. Può provenire da campionamento, da modelli ricorsivi o da sistemi digitali. L’indice $n$ è intero, quindi derivate e integrali vengono sostituiti da differenze e somme.

Trasformata Z bilatera

$$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]z^{-n}$$

La trasformata Z rappresenta una sequenza come serie di Laurent nella variabile complessa $z$. La regione di convergenza è essenziale: due sequenze diverse possono avere la stessa espressione algebrica ma regioni di convergenza diverse.

Trasformata Z unilatera

$$X^+(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}x[n]z^{-n}$$

La versione unilatera è adatta a sistemi causali e problemi con condizioni iniziali. È l’analogo discreto della trasformata di Laplace unilatera. Le condizioni iniziali compaiono nelle trasformate di differenze e ricorrenze.

Regione di convergenza

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|x[n]z^{-n}|<+\infty$$

La regione di convergenza indica per quali valori di $z$ la serie converge assolutamente. Per sequenze causali spesso è l’esterno di un cerchio; per sequenze anticausali l’interno; per sequenze bilatere una corona. Senza regione di convergenza la trasformata Z è incompleta.

Sequenza impulso

$$\delta[n]= \begin{cases} 1,& n=0,\\ 0,& n\ne0, \end{cases} \qquad \mathcal{Z}\{\delta[n]\}=1$$

L’impulso discreto è l’elemento neutro della convoluzione. Un sistema lineare tempo-invariante è completamente descritto dalla risposta all’impulso. La sua trasformata Z vale $1$, perché solo il termine $n=0$ contribuisce alla somma.

Sequenza esponenziale causale

$$x[n]=a^n u[n] \qquad\Longrightarrow\qquad X(z)=\frac{1}{1-a z^{-1}},\quad |z|>|a|$$

La regione $|z|>|a|$ indica causalità e convergenza esterna. La stessa frazione razionale con regione diversa potrebbe rappresentare una sequenza anticausale. I poli della trasformata controllano decadimento, crescita e stabilità.

Traslazione temporale

$$\mathcal{Z}\{x[n-k]\}=z^{-k}X(z)$$

Ritardare una sequenza di $k$ campioni moltiplica la trasformata per $z^{-k}$. Nei sistemi digitali, il fattore $z^{-1}$ rappresenta un ritardo unitario. Questa proprietà rende la trasformata Z naturale per equazioni alle differenze.

Convoluzione discreta

$$(x*h)[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]$$

La convoluzione discreta somma tutte le copie ritardate di una sequenza pesate dall’altra. Per sistemi lineari tempo-invarianti discreti, l’uscita è la convoluzione tra ingresso e risposta impulsiva. Con sequenze causali la somma effettiva si riduce agli indici passati.

Teorema della convoluzione discreta

$$\mathcal{Z}\{x*h\}=X(z)H(z)$$

La convoluzione nel dominio degli indici diventa prodotto nel dominio $z$. Questo trasforma equazioni alle differenze in equazioni algebriche. È il cuore dell’analisi dei filtri digitali.

Funzione di trasferimento discreta

$$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$$

La funzione di trasferimento descrive il sistema nel dominio $z$, assumendo condizioni iniziali nulle o trattate separatamente. Poli e zeri determinano stabilità, risposta in frequenza e comportamento transitorio. Un polo vicino alla circonferenza unitaria produce dinamiche lente o risonanti.

Stabilità BIBO

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|h[n]|<+\infty$$

Un sistema discreto lineare tempo-invariante è BIBO stabile se la risposta impulsiva è sommabile assolutamente. Per sistemi razionali causali, ciò equivale ad avere tutti i poli strettamente dentro la circonferenza unitaria. La stabilità dipende quindi sia dai poli sia dalla regione di convergenza.

Risposta in frequenza discreta

$$H(e^{i\omega})=H(z)\big|_{z=e^{i\omega}}$$

La risposta in frequenza si ottiene valutando la trasformata Z sulla circonferenza unitaria, quando questa appartiene alla regione di convergenza. Descrive come il sistema amplifica e sfasia sinusoidi discrete di pulsazione $\omega$.

7. Funzioni di variabile complessa

Variabile complessa

$$z=x+iy,\qquad x,y\in\mathbb{R}$$

Una funzione complessa può essere vista come una funzione di due variabili reali con valori in due variabili reali. Se $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, le funzioni $u$ e $v$ sono parte reale e parte immaginaria. L’analisi complessa aggiunge una struttura molto più rigida rispetto al calcolo reale in due variabili.

Modulo e argomento

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2},\qquad z=re^{i\theta}$$

Il modulo misura la distanza dall’origine, l’argomento misura la direzione. L’argomento non è unico: se $\theta$ è un argomento, anche $\theta+2k\pi$ lo è. Questa multivalenza è all’origine di molte cautele su logaritmo complesso e potenze complesse.

Dominio nel piano complesso

$$D\subset\mathbb{C}$$

Un dominio è tipicamente un insieme aperto e connesso del piano complesso. L’apertura permette di parlare di derivata complessa in un intorno del punto; la connessione evita di trattare pezzi separati come se fossero un solo ambiente analitico.

Derivata complessa

$$f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$$

Il limite deve essere lo stesso per ogni direzione complessa con cui $h$ tende a zero. Questa condizione è molto più forte della derivabilità parziale rispetto a $x$ e $y$. Una funzione complessamente derivabile in un aperto è detta olomorfa.

Equazioni di Cauchy-Riemann

$$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x$$

Se $f=u+iv$ è olomorfa e le derivate sono regolari, parte reale e parte immaginaria soddisfano queste relazioni. Le equazioni di Cauchy-Riemann esprimono la compatibilità tra derivazione rispetto alla direzione reale e rispetto alla direzione immaginaria. Non sono solo due equazioni: codificano la rigidità della derivabilità complessa.

Derivata tramite componenti

$$f'(z)=u_x+iv_x=v_y-iu_y$$

Quando valgono le equazioni di Cauchy-Riemann, la derivata complessa può essere calcolata dalle derivate parziali delle componenti. Le due espressioni coincidono proprio perché la derivata non dipende dalla direzione di avvicinamento.

Funzione olomorfa

$$f\ \text{olomorfa in }D \Longleftrightarrow f'(z)\ \text{esiste per ogni }z\in D$$

L’olomorfia è una proprietà locale su un aperto. Le funzioni olomorfe sono automaticamente molto regolari: ammettono derivate di ogni ordine e sviluppi in serie di potenze. Questa è una differenza enorme rispetto alle funzioni reali.

Funzione intera

$$f\ \text{intera} \Longleftrightarrow f\ \text{olomorfa su }\mathbb{C}$$

Le funzioni intere sono olomorfe su tutto il piano complesso. Polinomi ed esponenziale complesso sono esempi fondamentali. Funzioni razionali con denominatori non costanti non sono intere, perché hanno poli nei punti in cui il denominatore si annulla.

Funzioni armoniche

$$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=0,\qquad \Delta v=v_{xx}+v_{yy}=0$$

Se $f=u+iv$ è olomorfa, allora $u$ e $v$ sono armoniche, sotto ipotesi di regolarità. Questo collega analisi complessa ed equazioni di Laplace. Parte reale e parte immaginaria di una funzione olomorfa sono potenziali di equilibrio.

Conformità

$$f'(z_0)\ne0 \quad\Longrightarrow\quad f\ \text{preserva gli angoli in }z_0$$

Una funzione olomorfa con derivata non nulla è localmente una rotazione e dilatazione, al primo ordine. Preserva gli angoli orientati tra curve. Questo rende le trasformazioni conformi utili in fluidodinamica potenziale, elettrostatica e mappe geometriche.

8. Integrali complessi

Curva complessa parametrica

$$\gamma:[a,b]\to\mathbb{C},\qquad \gamma(t)=x(t)+iy(t)$$

Una curva nel piano complesso è una curva piana scritta con notazione complessa. La regolarità della curva permette di definire integrali lungo il percorso. L’orientazione è data dal verso crescente del parametro.

Integrale lungo una curva

$$\int_{\gamma}f(z)\,\mathrm{d}z = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,\mathrm{d}t$$

L’integrale complesso è un integrale di linea con valore complesso. Il fattore $\gamma'(t)$ contiene direzione e velocità di percorrenza. Cambiare verso alla curva cambia il segno dell’integrale.

Stima ML

$$\left|\int_{\gamma}f(z)\,\mathrm{d}z\right|\le ML$$

Se $|f(z)|\le M$ sulla curva e $L$ è la lunghezza di $\gamma$, allora il modulo dell’integrale è al massimo $ML$. Questa stima è semplice ma potentissima: permette di mostrare che contributi su archi grandi o piccoli tendono a zero.

Primitiva complessa

$$F'(z)=f(z) \quad\Longrightarrow\quad \int_{\gamma}f(z)\,\mathrm{d}z=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))$$

Se $f$ ammette una primitiva nel dominio, l’integrale dipende solo dagli estremi. In particolare, su una curva chiusa l’integrale è nullo. L’esistenza di una primitiva globale dipende sia da $f$ sia dalla topologia del dominio.

Teorema integrale di Cauchy

$$f\ \text{olomorfa in un dominio semplicemente connesso} \Longrightarrow \oint_{\gamma}f(z)\,\mathrm{d}z=0$$

L’integrale di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo, sotto ipotesi opportune sul dominio e sulla curva. Il dominio semplicemente connesso impedisce la presenza di buchi che racchiudono singolarità escluse. Questo teorema è la radice di gran parte dell’analisi complessa.

Formula integrale di Cauchy

$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{z-z_0}\,\mathrm{d}z$$

Se $f$ è olomorfa dentro e sopra una curva chiusa semplice positivamente orientata, il valore di $f$ in un punto interno è determinato dai valori sul bordo. È una proprietà di rigidità: conoscere una funzione olomorfa sul contorno determina l’interno.

Formula per le derivate

$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,\mathrm{d}z$$

Una funzione olomorfa ammette derivate di ogni ordine. Le derivate interne sono calcolabili tramite integrali sul bordo. Questa formula mostra perché l’olomorfia è molto più forte della semplice derivabilità reale.

Teorema di Liouville

$$f\ \text{intera e limitata} \Longrightarrow f\ \text{costante}$$

Nel piano complesso non esistono funzioni intere non costanti e globalmente limitate. Il risultato sembra sorprendente se confrontato con l’analisi reale. È anche una via elegante al teorema fondamentale dell’algebra.

Principio del massimo modulo

$$|f|\ \text{non ha massimo locale interno stretto se }f\ \text{è olomorfa non costante}$$

Il modulo di una funzione olomorfa non costante non può avere un picco isolato all’interno del dominio. I massimi su domini compatti si cercano sul bordo. Questa proprietà è molto utile in stime, stabilità e problemi al contorno.

9. Serie di potenze e serie di Laurent

Serie di potenze complessa

$$\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n$$

Una serie di potenze complessa converge dentro un disco centrato in $z_0$ e diverge fuori dal disco di convergenza. All’interno del disco rappresenta una funzione olomorfa e può essere derivata e integrata termine per termine.

Raggio di convergenza

$$R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$$

Il raggio di convergenza determina il disco in cui la serie converge assolutamente. Nel piano complesso la distanza dalla singolarità più vicina spesso determina il raggio dello sviluppo di Taylor. Questa interpretazione geometrica è fondamentale.

Sviluppo di Taylor complesso

$$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$$

Se $f$ è olomorfa in un disco, coincide con la sua serie di Taylor nel disco. A differenza dell’analisi reale, l’olomorfia garantisce analiticità. Il raggio è limitato dalla prima singolarità incontrata nel piano complesso.

Serie geometrica complessa

$$\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{+\infty}z^n,\qquad |z|<1$$

La serie geometrica è il modello base di tutti gli sviluppi locali. Il vincolo $|z|<1$ è essenziale: fuori dal disco unitario la serie diverge anche se la funzione razionale continua a esistere, tranne in $z=1$.

Serie di Laurent

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n$$

La serie di Laurent ammette potenze negative e descrive funzioni olomorfe in corone forate attorno a $z_0$. Le potenze negative catturano il comportamento singolare nel punto escluso. È lo strumento naturale per classificare singolarità isolate.

Coefficienti di Laurent

$$a_n=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,\mathrm{d}z$$

I coefficienti si calcolano integrando su una curva chiusa contenuta nella corona di olomorfia. Il coefficiente $a_{-1}$ ha un ruolo speciale: è il residuo e determina il valore degli integrali chiusi attorno alla singolarità.

Parte principale

$$\sum_{n=-\infty}^{-1}a_n(z-z_0)^n$$

La parte principale contiene le potenze negative della serie di Laurent. Se è nulla, la singolarità è eliminabile. Se contiene un numero finito di termini, c’è un polo. Se contiene infiniti termini, la singolarità è essenziale.

Residuo

$$\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}$$

Il residuo è il coefficiente della potenza $(z-z_0)^{-1}$ nella serie di Laurent. È l’unico coefficiente che contribuisce all’integrale su una curva chiusa attorno al punto, perché l’integrale di $(z-z_0)^{-1}$ produce $2\pi i$.

10. Singolarità e residui

Singolarità isolata

$$f\ \text{olomorfa in }0<|z-z_0|<r$$

$z_0$ è una singolarità isolata se la funzione è olomorfa in un intorno forato del punto. Il comportamento nel punto può essere eliminabile, polare o essenziale. La classificazione dipende dalla parte principale della serie di Laurent.

Singolarità eliminabile

$$\lim_{z\to z_0}f(z)\ \text{esiste finito}$$

Se il limite esiste finito, si può definire o ridefinire $f(z_0)$ con quel valore e ottenere una funzione olomorfa. La singolarità era dovuta alla formula scelta, non a un comportamento realmente divergente.

Polo di ordine $m$

$$f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^m},\qquad g(z_0)\ne0$$

Un polo di ordine $m$ è una singolarità in cui la funzione diverge come una potenza finita di $1/(z-z_0)$. La parte principale della Laurent ha esattamente $m$ termini. I poli sono le singolarità più trattabili nel calcolo dei residui.

Residuo in un polo semplice

$$\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$$

Questa formula vale quando $z_0$ è un polo semplice. Moltiplicare per $(z-z_0)$ elimina il termine singolare principale e lascia il coefficiente cercato. È il metodo più rapido per poli di ordine uno.

Residuo di un rapporto

$$f(z)=\frac{p(z)}{q(z)},\qquad q(z_0)=0,\quad q'(z_0)\ne0$$ $$\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{p(z_0)}{q'(z_0)}$$

Se il denominatore ha uno zero semplice e il numeratore è olomorfo, il rapporto ha un polo semplice. La formula evita di sviluppare in Laurent: basta valutare il numeratore e la derivata del denominatore nel polo.

Residuo in un polo di ordine $m$

$$\operatorname{Res}(f,z_0)= \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{\mathrm{d}^{m-1}}{\mathrm{d}z^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right]$$

Per poli multipli bisogna derivare dopo aver eliminato la potenza singolare principale. La formula è meccanica, ma può diventare lunga. Quando possibile, sviluppi noti o decomposizioni parziali sono spesso più puliti.

Singolarità essenziale

$$\text{parte principale infinita}$$

Una singolarità essenziale ha infiniti termini negativi nella serie di Laurent. Il comportamento vicino al punto è estremamente oscillatorio e non assimilabile a una potenza finita. L’esempio classico è $e^{1/z}$ in $z=0$.

Teorema dei residui

$$\oint_{\gamma}f(z)\,\mathrm{d}z = 2\pi i\sum_{k}\operatorname{Res}(f,z_k)$$

Se $f$ è olomorfa dentro e sopra $\gamma$ tranne che in un numero finito di singolarità isolate interne, l’integrale lungo il contorno è $2\pi i$ volte la somma dei residui. Il teorema trasforma un problema globale di integrazione in una somma di dati locali.

Integrali reali tramite residui

$$\int_{-\infty}^{+\infty}R(x)\,\mathrm{d}x$$

Per funzioni razionali o prodotti con esponenziali, si può chiudere il cammino nel piano complesso e usare i residui. La scelta del semipiano dipende dalla decrescenza dell’integrando e dal fattore oscillante. Bisogna sempre dimostrare che il contributo sull’arco aggiunto tende a zero.

Lemma di Jordan

$$\int_{\Gamma_R} e^{iaz}f(z)\,\mathrm{d}z\to0$$

Il lemma di Jordan fornisce condizioni per trascurare l’arco semicircolare in integrali oscillanti. Per $a>0$ si chiude di solito nel semipiano superiore, dove $e^{iaz}$ può decadere. La scelta del contorno non è arbitraria: deve sfruttare il segno dell’esponenziale.

11. Distribuzioni e impulsi

Funzione test

$$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb{R})$$

Una funzione test è liscia e a supporto compatto. Serve come oggetto contro cui una distribuzione viene valutata. L’idea è che alcune grandezze troppo singolari per essere funzioni ordinarie possono essere comprese attraverso il loro effetto su funzioni test.

Distribuzione

$$T:\varphi\mapsto \langle T,\varphi\rangle$$

Una distribuzione è un funzionale lineare continuo sulle funzioni test. Non assegna necessariamente un valore punto per punto, ma assegna un numero a ogni funzione test. Questo formalismo permette di trattare impulsi, cariche concentrate e derivate deboli.

Distribuzione associata a una funzione

$$\langle T_f,\varphi\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\varphi(x)\,\mathrm{d}x$$

Ogni funzione localmente integrabile definisce una distribuzione. In questo senso le distribuzioni estendono le funzioni, non le sostituiscono. Le funzioni ordinarie diventano casi particolari di oggetti più generali.

Delta di Dirac

$$\langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0)$$

La delta di Dirac non è una funzione ordinaria: è la distribuzione che estrae il valore della funzione test in zero. Modella una massa, carica o forza concentrata in un punto. Scrivere integrali con $\delta$ è una notazione compatta per questa azione.

Delta traslata

$$\langle\delta_a,\varphi\rangle=\varphi(a)$$

La delta centrata in $a$ estrae il valore della funzione test nel punto $a$. In notazione fisica si scrive spesso $\delta(x-a)$. Serve a rappresentare sorgenti puntuali collocate in posizioni diverse dall’origine.

Proprietà di campionamento

$$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta(x-a)\,\mathrm{d}x=f(a)$$

Questa formula va intesa in senso distribuzionale. La delta seleziona il valore della funzione nel punto in cui è concentrata. È molto usata in segnali, sistemi lineari, meccanica impulsiva e funzioni di Green.

Derivata distribuzionale

$$\langle T',\varphi\rangle=-\langle T,\varphi'\rangle$$

La derivata di una distribuzione è definita spostando la derivata sulla funzione test e cambiando segno. La formula deriva dall’integrazione per parti, con termini al bordo nulli grazie al supporto compatto delle funzioni test. Ogni distribuzione è derivabile in questo senso.

Derivata della delta

$$\langle\delta',\varphi\rangle=-\varphi'(0)$$

La derivata della delta misura, con segno meno, la derivata della funzione test nel punto di concentrazione. Non è una funzione, ma un oggetto perfettamente definito come distribuzione. Compare in modelli con doppietti, sorgenti derivate e condizioni al contorno singolari.

Gradino di Heaviside

$$H(x)= \begin{cases} 0,& x<0,\\ 1,& x>0, \end{cases} \qquad H'=\delta$$

Il gradino rappresenta un’accensione improvvisa. La sua derivata ordinaria è nulla tranne nel salto, ma in senso distribuzionale il salto produce una delta. Questa formula formalizza l’idea che la derivata di un cambiamento istantaneo sia un impulso.

Convoluzione con la delta

$$f*\delta=f$$

La delta è l’elemento neutro della convoluzione. Convolvere un segnale con una delta lo lascia invariato; convolvere con una delta traslata produce una traslazione. Per questo la risposta impulsiva determina completamente un sistema lineare tempo-invariante.

Trasformata di Fourier della delta

$$\mathcal{F}\{\delta\}=1$$

Un impulso concentrato nel tempo contiene tutte le frequenze con uguale ampiezza. Questa è una formulazione matematica del principio di indeterminazione qualitativo: massima localizzazione temporale corrisponde a spettro infinitamente esteso.

12. Spazi funzionali e convergenze

Norma $L^p$

$$\lVert f\rVert_p=\left(\int_{\Omega}|f(x)|^p\,\mathrm{d}x\right)^{1/p},\qquad 1\le p<+\infty$$

La norma $L^p$ misura grandezza media di una funzione con peso di potenza $p$. Per $p=1$ misura area assoluta; per $p=2$ energia quadratica; per grandi $p$ penalizza maggiormente i picchi. Le funzioni sono identificate a meno di differenze su insiemi di misura nulla.

Norma $L^\infty$

$$\lVert f\rVert_\infty=\operatorname*{ess\,sup}_{x\in\Omega}|f(x)|$$

La norma essenziale suprema misura il massimo quasi ovunque, ignorando insiemi di misura nulla. È più robusta del massimo puntuale in contesti integrali. Serve per stime uniformi e controllo di ampiezza.

Spazio di Hilbert $L^2$

$$\langle f,g\rangle=\int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}\,\mathrm{d}x$$

$L^2$ è uno spazio di Hilbert: possiede prodotto scalare, norma e completezza. Questo permette di usare geometria infinita-dimensionale: proiezioni, ortogonalità, basi ortonormali e decomposizioni spettrali. Fourier vive naturalmente in questo ambiente.

Ortogonalità

$$\langle f,g\rangle=0$$

Due funzioni sono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo. In termini di segnali, non condividono energia nella direzione funzionale considerata. L’ortogonalità permette di scomporre funzioni in componenti indipendenti.

Sistema ortonormale

$$\langle e_n,e_m\rangle=\delta_{nm}$$

Un sistema è ortonormale se ogni elemento ha norma uno ed elementi diversi sono ortogonali. In una base ortonormale, i coefficienti di espansione si ottengono con semplici prodotti scalari. Le armoniche di Fourier sono l’esempio principale.

Proiezione ortogonale

$$P_N f=\sum_{n=1}^{N}\langle f,e_n\rangle e_n$$

La proiezione su uno spazio generato da $e_1,\dots,e_N$ è la migliore approssimazione quadratica di $f$ in quello spazio. “Migliore” significa che minimizza l’errore in norma $L^2$. Le somme parziali di Fourier sono proiezioni ortogonali.

Disuguaglianza di Bessel

$$\sum_{n=1}^{+\infty}|\langle f,e_n\rangle|^2\le \lVert f\rVert^2$$

La somma delle energie delle componenti ortogonali non supera l’energia totale. Se il sistema ortonormale è completo, l’uguaglianza diventa Parseval. La differenza misura energia non catturata dal sistema scelto.

Completezza

$$\overline{\operatorname{span}\{e_n\}}=H$$

Un sistema è completo se le sue combinazioni finite approssimano ogni elemento dello spazio, nel senso della norma. La completezza è ciò che consente di rappresentare funzioni generali tramite serie di coefficienti. Senza completezza, resterebbero componenti invisibili.

Convergenza in norma

$$f_n\to f\ \text{in }L^2 \Longleftrightarrow \lVert f_n-f\rVert_2\to0$$

La convergenza in norma quadratica controlla l’energia dell’errore, non necessariamente il valore punto per punto. È la convergenza naturale per Fourier e metodi energetici. Un’approssimazione può convergere in $L^2$ pur presentando oscillazioni locali.

13. Equazioni alle derivate parziali

Equazione alle derivate parziali

$$F(x,u,\nabla u,D^2u,\dots)=0$$

Un’equazione alle derivate parziali collega una funzione incognita di più variabili alle sue derivate parziali. Le variabili possono rappresentare spazio, tempo o parametri. In ingegneria modellano diffusione, onde, potenziali, equilibrio, trasporto e campi.

EDP lineare del secondo ordine in due variabili

$$A u_{xx}+2B u_{xy}+C u_{yy}+D u_x+E u_y+F u=G$$

La parte principale è formata dai termini di secondo ordine. I coefficienti $A,B,C$ determinano il tipo dell’equazione. I termini di ordine inferiore e il termine noto modellano smorzamenti, sorgenti, reazioni o forzanti.

Classificazione

$$B^2-AC \begin{cases} <0,& \text{ellittica},\\ =0,& \text{parabolica},\\ >0,& \text{iperbolica}. \end{cases}$$

La classificazione distingue tre comportamenti fisici. Le equazioni ellittiche descrivono equilibrio spaziale; le paraboliche diffusione irreversibile; le iperboliche propagazione con velocità finita. La classificazione guida condizioni al contorno e metodi di soluzione.

Equazione di Laplace

$$\Delta u=0$$

L’equazione di Laplace descrive stati stazionari senza sorgenti: temperatura a regime, potenziale elettrostatico in regioni vuote, flusso potenziale incomprimibile. Le soluzioni sono funzioni armoniche e soddisfano forti proprietà di media e massimo.

Equazione di Poisson

$$-\Delta u=f$$

Poisson introduce una sorgente $f$. Se $f$ rappresenta densità di carica, massa o generazione termica, la soluzione $u$ è il potenziale corrispondente. Il segno davanti al Laplaciano dipende dalle convenzioni, ma va mantenuto coerente nelle condizioni al contorno.

Equazione del calore

$$u_t=\kappa\Delta u,\qquad \kappa>0$$

Il calore diffonde dalle regioni più alte a quelle più basse. Il parametro $\kappa$ è la diffusività e controlla la rapidità di livellamento. L’equazione è parabolica: richiede una condizione iniziale e condizioni al contorno nello spazio.

Equazione delle onde

$$u_{tt}=c^2\Delta u$$

L’equazione delle onde descrive propagazione con velocità $c$. È iperbolica e richiede posizione iniziale e velocità iniziale. A differenza del calore, conserva una struttura energetica e trasmette perturbazioni con velocità finita.

Condizione di Dirichlet

$$u|_{\partial\Omega}=g$$

La condizione di Dirichlet prescrive il valore della soluzione sul bordo. Può rappresentare temperatura imposta, potenziale fissato o spostamento vincolato. È una condizione essenziale perché impone direttamente la grandezza cercata.

Condizione di Neumann

$$\frac{\partial u}{\partial n}\bigg|_{\partial\Omega}=g$$

La condizione di Neumann prescrive la derivata normale sul bordo. Rappresenta flusso, gradiente imposto, isolamento o forza normale. Per problemi di Poisson con sole condizioni di Neumann serve una condizione di compatibilità e la soluzione è determinata a meno di una costante.

Condizione di Robin

$$\alpha u+\beta\frac{\partial u}{\partial n}=g\quad\text{su }\partial\Omega$$

La condizione di Robin combina valore e flusso normale. Modella scambio convettivo, impedenza al bordo o condizioni elastiche miste. Dirichlet e Neumann sono casi limite quando uno dei due coefficienti si annulla.

14. Separazione delle variabili e Sturm-Liouville

Ansatz separato

$$u(x,t)=X(x)T(t)$$

La separazione delle variabili cerca soluzioni come prodotto di una parte spaziale e una temporale. Non tutte le soluzioni hanno questa forma, ma combinazioni di soluzioni separate possono rappresentare soluzioni generali in domini e problemi lineari adatti.

Separazione nell’equazione del calore in una dimensione

$$u_t=\kappa u_{xx},\qquad u=X(x)T(t)$$ $$\frac{T'}{\kappa T}=\frac{X''}{X}=-\lambda$$

Il rapporto temporale dipende solo da $t$, quello spaziale solo da $x$: perché siano uguali per ogni $x,t$, devono essere costanti. La costante di separazione viene scelta come $-\lambda$ per ottenere problemi agli autovalori spaziali con segno naturale.

Problema agli autovalori su $[0,L]$

$$X''+\lambda X=0,\qquad X(0)=X(L)=0$$

Questo problema nasce da condizioni di Dirichlet omogenee. Le soluzioni non banali esistono solo per valori discreti di $\lambda$. Questi valori sono gli autovalori e le funzioni corrispondenti sono gli autovettori o autofunzioni.

Autovalori e autofunzioni di Dirichlet

$$\lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,\qquad X_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad n=1,2,\dots$$

I seni soddisfano automaticamente l’annullamento agli estremi. Ogni modo $n$ rappresenta una forma spaziale con $n-1$ nodi interni. Nei problemi di calore, i modi ad alta frequenza decadono più rapidamente.

Soluzione del calore con Dirichlet omogeneo

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{+\infty}b_n e^{-\kappa(n\pi/L)^2t}\sin\frac{n\pi x}{L}$$

Ogni modo spaziale evolve con un esponenziale temporale decrescente. Il coefficiente $b_n$ deriva dalla serie di Fourier della condizione iniziale. Il fattore con $n^2$ mostra che le oscillazioni spaziali fini vengono smorzate molto rapidamente.

Coefficienti dalla condizione iniziale

$$b_n=\frac{2}{L}\int_0^L u(x,0)\sin\frac{n\pi x}{L}\,\mathrm{d}x$$

La condizione iniziale viene proiettata sulle autofunzioni del problema spaziale. L’ortogonalità dei seni consente di calcolare i coefficienti indipendentemente. Questa è la struttura generale dei metodi spettrali.

Equazione delle onde separata

$$u_{tt}=c^2u_{xx},\qquad T''+c^2\lambda T=0$$

La parte temporale dell’equazione delle onde non decade esponenzialmente: oscilla. Ogni modo spaziale si comporta come un oscillatore armonico con pulsazione proporzionale a $\sqrt{\lambda}$. Questo riflette la conservazione dell’energia nelle onde ideali.

Soluzione modale delle onde

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{+\infty} \left(A_n\cos\frac{cn\pi t}{L}+B_n\sin\frac{cn\pi t}{L}\right) \sin\frac{n\pi x}{L}$$

I coefficienti $A_n$ sono determinati dallo spostamento iniziale, mentre $B_n$ dalla velocità iniziale. Ogni modo vibra con frequenza propria. Una corda fissata agli estremi è il modello classico di questa formula.

Problema di Sturm-Liouville

$$-(p(x)y')'+q(x)y=\lambda w(x)y$$

Sturm-Liouville generalizza i problemi agli autovalori che nascono dalla separazione delle variabili. La funzione $w(x)$ è un peso, $p(x)$ controlla il termine diffusivo e $q(x)$ un potenziale. Con condizioni al contorno adatte, gli autovalori sono reali e le autofunzioni ortogonali rispetto al peso.

Ortogonalità pesata

$$\int_a^b y_m(x)y_n(x)w(x)\,\mathrm{d}x=0\qquad(m\ne n)$$

Le autofunzioni relative ad autovalori distinti sono ortogonali con peso $w$. Questa ortogonalità permette di espandere condizioni iniziali e forzanti nella base degli autostati. È l’analogo generale dell’ortogonalità di seni e coseni.

Espansione in autofunzioni

$$f(x)\sim\sum_{n=1}^{+\infty}c_n y_n(x),\qquad c_n=\frac{\int_a^b f(x)y_n(x)w(x)\,\mathrm{d}x} {\int_a^b y_n(x)^2w(x)\,\mathrm{d}x}$$

I coefficienti sono proiezioni pesate di $f$ sulle autofunzioni. La formula è la stessa geometria di Fourier in uno spazio funzionale con prodotto scalare modificato dal peso. La completezza delle autofunzioni è ciò che rende l’espansione utilizzabile per risolvere EDP.

15. Problemi classici della fisica matematica

Formula di d’Alembert sulla retta

$$u_{tt}=c^2u_{xx},\qquad u(x,0)=\phi(x),\qquad u_t(x,0)=\psi(x)$$ $$u(x,t)=\frac{\phi(x-ct)+\phi(x+ct)}{2} +\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,\mathrm{d}s$$

La soluzione è somma di due onde che viaggiano in versi opposti più il contributo della velocità iniziale. Il valore in $(x,t)$ dipende solo dai dati nell’intervallo $[x-ct,x+ct]$, detto dominio di dipendenza. Questo esprime propagazione a velocità finita.

Nucleo del calore sulla retta

$$G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-x^2/(4\kappa t)},\qquad t>0$$

Il nucleo del calore è la risposta a una sorgente impulsiva iniziale. È una gaussiana che si allarga nel tempo e conserva area unitaria. La larghezza cresce come $\sqrt{t}$, tipica dei fenomeni diffusivi.

Soluzione del calore sulla retta

$$u(x,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}G(x-\xi,t)\phi(\xi)\,\mathrm{d}\xi$$

La soluzione è la convoluzione tra il dato iniziale e il nucleo del calore. Ogni punto iniziale contribuisce a ogni punto successivo, con peso gaussiano. A differenza delle onde, la diffusione ha effetto immediato su tutta la retta, anche se molto piccolo lontano.

Equazione di Laplace nel disco

$$\Delta u=0,\qquad 0<r<R$$

Nel disco è naturale usare coordinate polari. La separazione produce modi radiali e angolari. Le condizioni al bordo determinano i coefficienti della serie armonica. Il problema modella equilibrio in domini circolari o cilindrici.

Laplaciano in coordinate polari

$$\Delta u=u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}$$

Il termine $1/r$ e il termine $1/r^2$ derivano dalla geometria polare. Non si possono ottenere sostituendo semplicemente $x$ e $y$ senza trasformare l’operatore. La forma polare è essenziale per problemi con simmetria radiale.

Soluzioni armoniche radiali in due dimensioni

$$u(r)=A\ln r+B$$

Una soluzione radiale dell’equazione di Laplace in due dimensioni ha forma logaritmica. Il logaritmo segnala una singolarità in $r=0$, salvo il caso $A=0$. Questo comportamento è legato alla funzione fondamentale del Laplaciano bidimensionale.

Soluzioni armoniche radiali in tre dimensioni

$$u(r)=\frac{A}{r}+B$$

In tre dimensioni la soluzione radiale fondamentale decresce come $1/r$. È la struttura dei potenziali gravitazionali ed elettrostatici generati da sorgenti puntuali. La differenza tra $\ln r$ e $1/r$ mostra quanto la dimensione cambi il comportamento dei campi.

Energia dell’equazione delle onde

$$E(t)=\frac12\int_{\Omega}\left(u_t^2+c^2|\nabla u|^2\right)\,\mathrm{d}x$$

L’energia combina energia cinetica, legata a $u_t$, ed energia elastica o potenziale, legata al gradiente spaziale. Per onde ideali senza smorzamento e con condizioni al bordo adatte, l’energia si conserva. Questa proprietà distingue i problemi iperbolici dai problemi diffusivi.

Decadimento dell’energia per il calore

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}u^2\,\mathrm{d}x = -2\kappa\int_{\Omega}|\nabla u|^2\,\mathrm{d}x$$

Con condizioni al bordo omogenee adeguate, l’energia quadratica del calore decresce nel tempo. Il termine a destra è non positivo e misura dissipazione. La diffusione tende a smussare gradienti e portare il sistema verso equilibrio.

16. Funzioni di Green

Problema lineare astratto

$$Lu=f$$

$L$ è un operatore lineare differenziale e $f$ è una sorgente. Risolvere il problema significa invertire $L$ rispettando condizioni al contorno o iniziali. La funzione di Green rappresenta il nucleo di questa inversione.

Funzione di Green

$$L_xG(x,\xi)=\delta(x-\xi)$$

La funzione di Green è la risposta del sistema a una sorgente puntuale collocata in $\xi$. L’operatore agisce sulla variabile $x$. Una volta nota la risposta all’impulso, la risposta a una sorgente generale si ottiene per sovrapposizione.

Rappresentazione della soluzione

$$u(x)=\int_{\Omega}G(x,\xi)f(\xi)\,\mathrm{d}\xi$$

La soluzione è una somma continua di risposte impulsive pesate dalla sorgente $f$. Questa formula è una convoluzione generalizzata quando il dominio è traslazionalmente invariante; in domini con bordo, $G$ incorpora anche le condizioni al contorno.

Funzione fondamentale del Laplaciano in tre dimensioni

$$\Phi(x)=\frac{1}{4\pi|x|}$$

Questa funzione soddisfa, in senso distribuzionale, un’equazione con delta nell’origine. È il potenziale generato da una sorgente puntuale nello spazio. La singolarità in $x=0$ rappresenta la concentrazione della sorgente.

Funzione fondamentale del calore

$$G(x,t)=\frac{1}{(4\pi\kappa t)^{n/2}}e^{-|x|^2/(4\kappa t)}$$

In $n$ dimensioni, il nucleo del calore conserva massa e si allarga nel tempo. Il fattore $(4\pi\kappa t)^{-n/2}$ normalizza l’integrale totale a uno. L’esponente gaussiano penalizza distanze grandi rispetto alla scala diffusiva $\sqrt{\kappa t}$.

Causalità delle funzioni di Green evolutive

$$G(x,t;\xi,\tau)=0\qquad t<\tau$$

Per problemi evolutivi causali, una sorgente nel tempo $\tau$ non può influenzare tempi precedenti. Questa condizione è incorporata nella funzione di Green ritardata. È fondamentale in onde, calore, circuiti e sistemi dinamici.

17. Metodi trasformati per equazioni differenziali

Derivate e Fourier per EDP lineari

$$\mathcal{F}\{\partial_x u\}=i\xi\widehat{u},\qquad \mathcal{F}\{\partial_{xx}u\}=-\xi^2\widehat{u}$$

La trasformata di Fourier trasforma derivate spaziali in moltiplicazioni algebriche. Un’EDP lineare a coefficienti costanti può diventare un’equazione differenziale ordinaria nel tempo per ogni frequenza $\xi$. Questa separazione spettrale semplifica problemi su domini infiniti.

Calore in Fourier

$$u_t=\kappa u_{xx} \quad\Longrightarrow\quad \partial_t\widehat{u}(\xi,t)=-\kappa\xi^2\widehat{u}(\xi,t)$$

Ogni frequenza evolve indipendentemente con decadimento $e^{-\kappa\xi^2t}$. Le alte frequenze, cioè dettagli rapidi nello spazio, decadono più velocemente. Questo spiega l’effetto levigante dell’equazione del calore.

Soluzione spettrale del calore

$$\widehat{u}(\xi,t)=e^{-\kappa\xi^2t}\widehat{\phi}(\xi)$$

La trasformata della soluzione è il prodotto tra lo spettro iniziale e un filtro gaussiano decrescente. Applicando l’antitrasformata si ottiene la convoluzione con il nucleo del calore. La soluzione è quindi un filtraggio passa-basso progressivo.

Onde in Fourier

$$u_{tt}=c^2u_{xx} \quad\Longrightarrow\quad \partial_{tt}\widehat{u}+c^2\xi^2\widehat{u}=0$$

Ogni frequenza soddisfa l’equazione di un oscillatore armonico. A differenza del calore, non compare decadimento intrinseco. La trasformata di Fourier scompone l’onda in modi indipendenti che oscillano con pulsazione $c|\xi|$.

Laplace per ODE con condizioni iniziali

$$y''+ay'+by=f(t)$$

Applicando Laplace, le derivate diventano polinomi in $s$ più termini iniziali. Si ottiene un’equazione algebrica per $Y(s)$. Dopo aver risolto nel dominio trasformato, si applica l’antitrasformata per recuperare $y(t)$.

Funzione di trasferimento continua

$$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$$

La funzione di trasferimento è il rapporto tra uscita e ingresso nel dominio di Laplace, con condizioni iniziali nulle. I poli determinano modi naturali e stabilità; gli zeri determinano cancellazioni e sagomatura della risposta. In controlli automatici è un oggetto centrale.

Stabilità continua

$$\operatorname{Re}s_k<0\quad\text{per tutti i poli }s_k$$

Per sistemi lineari causali razionali, poli nel semipiano sinistro indicano decadimento esponenziale dei modi naturali. Poli sull’asse immaginario o nel semipiano destro richiedono attenzione: possono produrre oscillazioni persistenti o crescita instabile.

18. Schemi operativi di risoluzione

Serie di Fourier

$$\text{periodo},\quad \text{simmetria},\quad \text{coefficienti},\quad \text{convergenza}$$

Prima si identifica il periodo corretto, poi si sfruttano eventuali simmetrie pari o dispari. Si calcolano i coefficienti con le formule normalizzate sull’intervallo giusto. Infine si interpreta la convergenza, ricordando che nei salti la serie converge alla media dei limiti laterali.

Trasformata di Fourier

$$\text{integrabilità},\quad \text{convenzione},\quad \text{proprietà},\quad \text{antitrasformata}$$

Si controlla anzitutto in quale senso la trasformata esiste. Poi si mantiene una convenzione coerente sui fattori $2\pi$. Le proprietà di traslazione, derivazione e convoluzione riducono il calcolo. L’antitrasformata va interpretata nel senso consentito dalle ipotesi.

Trasformata di Laplace

$$\text{causalità},\quad \text{regione di convergenza},\quad \text{condizioni iniziali},\quad \text{poli}$$

Laplace è particolarmente adatta a problemi causali con dati iniziali. Dopo la trasformazione, le condizioni iniziali entrano automaticamente. La scomposizione in fratti semplici e l’analisi dei poli guidano antitrasformata, transitorio e stabilità.

Analisi complessa

$$\text{dominio},\quad \text{singolarità},\quad \text{contorno},\quad \text{orientazione}$$

Prima di applicare Cauchy o i residui bisogna sapere dove la funzione è olomorfa e dove sono le singolarità. Il contorno deve essere scelto in modo coerente con il problema e orientato correttamente. Le stime sugli archi sono parte della soluzione, non un dettaglio finale.

Residui

$$\text{poli interni},\quad \operatorname{Res}(f,z_k),\quad \oint f\,\mathrm{d}z=2\pi i\sum_k\operatorname{Res}(f,z_k)$$

Si individuano le singolarità dentro il contorno, si classificano e si calcolano i residui con la formula più semplice disponibile. Per integrali reali, bisogna aggiungere il controllo del contributo sui tratti artificiali del contorno.

Separazione delle variabili

$$u=X T,\quad \text{costante di separazione},\quad \text{autovalori},\quad \text{serie}$$

La separazione produce un problema agli autovalori spaziale e un’equazione temporale. Le condizioni al contorno selezionano gli autovalori. La condizione iniziale determina i coefficienti della serie di autofunzioni.

EDP con trasformate

$$\partial_x\mapsto i\xi,\qquad \partial_t\mapsto s$$

Fourier è naturale per variabili spaziali su domini infiniti o periodici; Laplace è naturale per il tempo causale. Le trasformate convertono operatori differenziali lineari in moltiplicatori o polinomi, semplificando la risoluzione.

Distribuzioni

$$\delta,\quad H,\quad T',\quad f*\delta$$

Le distribuzioni servono quando sorgenti, impulsi o derivate non sono funzioni ordinarie. Bisogna ragionare tramite l’azione su funzioni test. Le formule fisiche con delta sono potenti, ma vanno interpretate nel senso distribuzionale.

Controllo finale delle ipotesi

$$\text{convergenza},\quad \text{regolarità},\quad \text{dominio},\quad \text{orientazione},\quad \text{condizioni al contorno}$$

Analisi III è piena di formule formalmente eleganti ma sensibili alle ipotesi. Una trasformata senza regione di convergenza, un residuo fuori dal contorno, una serie usata nel punto di salto o un problema al contorno incompatibile possono produrre risultati apparentemente plausibili ma matematicamente falsi.