L’equazione di Laplace è un’equazione alle derivate parziali di tipo ellittico che descrive il comportamento stazionario (indipendente dal tempo) di campi potenziali in regioni dello spazio dove non sono presenti sorgenti.
Forma Generale
L’equazione afferma che la divergenza del gradiente di un campo scalare \phi è nulla: \nabla^2 \phi = 0 Le soluzioni di questa equazione sono chiamate funzioni armoniche.
Proprietà delle Soluzioni
- Principio del Massimo: Una funzione armonica non può avere massimi o minimi relativi all’interno del dominio; i valori estremi si trovano sempre sulla frontiera.
- Proprietà della Media: Il valore di \phi in un punto è uguale alla media dei valori di \phi su una qualsiasi sfera centrata in quel punto.
Significato Ingegneristico
- Elettromagnetismo: Calcolo del potenziale elettrico in una regione senza cariche o del campo magnetico in regioni senza correnti.
- Fluidodinamica: Descrizione dei flussi potenziali (irrotazionali e incomprimibili), come il moto attorno a un profilo alare in regime subsonico.
- Termodinamica: Descrive la distribuzione di temperatura a regime stazionario (equilibrio termico raggiunto) in un corpo.
- Gravitazione: Calcolo del potenziale gravitazionale nello spazio vuoto.
- Ingegneria Civile: Studio dei moti di filtrazione dell’acqua attraverso dighe in terra o terreni permeabili.