Formulario completo di controlli automatici per i corsi di ingegneria. Lo scopo è offrire un riferimento autosufficiente e ragionato che parta dalla trasformata di Laplace, sviluppi l’analisi dei sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) tramite la funzione di trasferimento, e arrivi allo studio della stabilità, della risposta in frequenza e alla sintesi dei regolatori.
Il problema centrale del controllo è far sì che un sistema (un motore, un forno, un velivolo) si comporti come vogliamo, nonostante disturbi e incertezze. La strategia vincente è la retroazione: misurare l’uscita, confrontarla con l’obiettivo, correggere. Ma la retroazione introduce un rischio — l’instabilità — e gran parte di questo formulario serve a capire quando un anello è stabile e quanto bene si comporta. Ogni sezione spiega il significato delle formule, non solo la loro forma, e include esempi commentati.
Si assume nota l’analisi dei sistemi dinamici di base. La variabile complessa di Laplace è s = \sigma + j\omega; in regime sinusoidale si pone s = j\omega. I sistemi sono lineari e tempo-invarianti salvo diversa indicazione.
L’ordine consigliato è:
- trasformata di Laplace;
- funzione di trasferimento, poli e zeri;
- risposta nel tempo dei sistemi tipici;
- stabilità e criterio di Routh;
- sistemi in retroazione;
- risposta in frequenza e diagrammi di Bode;
- margini di stabilità;
- regolatori PID ed errore a regime.
Mappa di lettura operativa:
| Problema | Strumento principale | Controllo |
|---|---|---|
| da equazione differenziale a G(s) | trasformata di Laplace | condizioni iniziali nulle |
| comportamento dinamico | poli della funzione di trasferimento | parte reale dei poli |
| stabilità senza calcolare i poli | criterio di Routh-Hurwitz | segni della prima colonna |
| risposta in frequenza | diagrammi di Bode | scala logaritmica e decibel |
| robustezza dell’anello | margini di guadagno e fase | letti sul diagramma di Bode |
| precisione a regime | tipo del sistema, costanti di errore | ingresso (gradino, rampa) |
| sintesi del regolatore | PID | taratura dei guadagni |
1. Trasformata di Laplace
Perché Laplace e definizione
I sistemi dinamici sono descritti da equazioni differenziali, difficili da manipolare. La trasformata di Laplace le converte in equazioni algebriche, molto più maneggevoli, spostando il problema dal dominio del tempo a quello della variabile complessa s:
Risolto il problema algebrico in s, si torna nel tempo con l’antitrasformata. È lo stesso spirito dei logaritmi, che trasformano i prodotti in somme.
Proprietà fondamentali
| Proprietà | Dominio del tempo | Dominio di Laplace |
|---|---|---|
| Linearità | a f + b g | a F(s) + b G(s) |
| Derivata | f'(t) | s F(s) - f(0) |
| Integrale | \int_0^t f\,d\tau | F(s)/s |
| Traslazione nel tempo | f(t-T) | e^{-sT} F(s) |
La proprietà chiave è la derivata: a condizioni iniziali nulle, derivare nel tempo equivale a moltiplicare per s, integrare a dividere per s. È questo che trasforma le equazioni differenziali in algebriche: ogni derivata diventa una potenza di s.
Trasformate notevoli
| f(t) | F(s) |
|---|---|
| Impulso \delta(t) | 1 |
| Gradino unitario | 1/s |
| Rampa t | 1/s^2 |
| Esponenziale e^{-at} | 1/(s+a) |
| Sinusoide \sin\omega t | \omega/(s^2+\omega^2) |
Da notare il pattern: il gradino dà 1/s, la rampa (suo integrale) 1/s^2 — coerente con la regola dell’integrale. L’esponenziale e^{-at} dà un polo in s=-a: il legame tra posizione del polo e velocità di decadimento (sezione 3) è già qui.
Teoremi del valore iniziale e finale
Spesso interessa solo il valore di partenza o di arrivo, non l’intero andamento. Si ottengono senza antitrasformare:
Attenzione: il teorema del valore finale vale solo se il sistema è stabile (il limite esiste). Applicarlo a un sistema instabile dà risultati privi di senso — un errore frequente.
2. Funzione di trasferimento, poli e zeri
Definizione
La funzione di trasferimento G(s) riassume tutto il comportamento di un sistema LTI: è il rapporto tra le trasformate di uscita e ingresso, a condizioni iniziali nulle:
Il suo grande pregio: per sistemi in cascata (l’uscita di uno è l’ingresso del successivo), le funzioni di trasferimento semplicemente si moltiplicano. Un sistema complesso si analizza così componendo blocchi.
Poli e zeri
Scrivendo G(s) come rapporto di polinomi, gli zeri sono le radici del numeratore N(s), i poli le radici del denominatore D(s). La distinzione è cruciale: i poli determinano la stabilità e i “modi” della risposta (come il sistema evolve liberamente), mentre gli zeri modellano la forma della risposta (come i modi si combinano). La posizione dei poli nel piano complesso s è la chiave di lettura di tutto: poli a sinistra = stabile, vicini all’asse immaginario = lento/oscillante, a destra = instabile.
3. Risposta nel tempo dei sistemi tipici
Sistema del primo ordine
Il sistema dinamico più semplice (un serbatoio, un circuito RC) ha funzione di trasferimento:
con K guadagno statico e \tau costante di tempo. La risposta al gradino è un esponenziale che sale verso il valore finale:
La costante di tempo \tau è il parametro chiave: dopo un tempo \tau il sistema ha raggiunto il 63% del valore finale, dopo 3\tau il 95%, dopo 5\tau è praticamente a regime (99,3%). Il polo è in s = -1/\tau: più il polo è lontano a sinistra (piccolo \tau), più il sistema è veloce. Ecco concretamente il legame poli-velocità.
Sistema del secondo ordine
Moltissimi sistemi (massa-molla-smorzatore, motori, anelli di controllo) si riducono alla forma standard del secondo ordine:
con \omega_n pulsazione naturale (quanto è “veloce” il sistema) e \zeta fattore di smorzamento (quanto è “frenato”). Il comportamento dipende interamente da \zeta:
| Valore di \zeta | Risposta | Poli |
|---|---|---|
| \zeta = 0 | oscillazione permanente | immaginari puri |
| 0 < \zeta < 1 | sottosmorzata (oscillazioni smorzate) | complessi coniugati |
| \zeta = 1 | smorzamento critico (rapida, senza oscillare) | reali coincidenti |
| \zeta > 1 | sovrasmorzata (lenta, senza oscillazioni) | reali distinti |
Lo smorzamento critico (\zeta=1) è il caso limite di interesse pratico: la risposta più rapida possibile senza sovraelongazione. Sotto, il sistema oscilla; sopra, è inutilmente lento.
Parametri della risposta sottosmorzata
Per 0 < \zeta < 1 (il caso più comune nei sistemi controllati), interessano due parametri della risposta al gradino:
Risultato notevole: la sovraelongazione dipende solo da \zeta, non da \omega_n. Questo dà una regola di progetto diretta: si sceglie \zeta per limitare la sovraelongazione (es. \zeta \approx 0{,}7 dà circa il 5%, valore tipico di compromesso tra prontezza e oscillazione), e \omega_n per la velocità desiderata. La pulsazione smorzata \omega_d è la frequenza effettiva delle oscillazioni, minore di \omega_n a causa dello smorzamento.
4. Stabilità e criterio di Routh
Condizione di stabilità
La proprietà più importante: un sistema LTI è asintoticamente stabile se e solo se tutti i poli hanno parte reale negativa (semipiano sinistro):
La ragione è diretta: un polo in s = -a produce un termine e^{-at} nella risposta. Se a > 0 (polo a sinistra) il termine decade; se a < 0 (polo a destra) cresce senza limite (instabilità); se a = 0 (polo sull’asse) resta costante o oscilla (stabilità marginale). Basta un solo polo a destra per rendere instabile tutto il sistema.
Criterio di Routh-Hurwitz
Calcolare i poli di un polinomio di grado alto è laborioso. Il criterio di Routh-Hurwitz stabilisce la stabilità senza calcolarli, dai soli coefficienti di D(s) = a_n s^n + \dots + a_1 s + a_0. Si costruisce la tabella di Routh secondo uno schema fisso; il sistema è stabile se e solo se tutti gli elementi della prima colonna hanno lo stesso segno. Di più: il numero di cambi di segno nella prima colonna uguaglia esattamente il numero di poli instabili.
C’è una condizione necessaria (ma non sufficiente) da controllare subito: tutti i coefficienti a_i devono essere presenti (nessuno mancante) e dello stesso segno. Se manca un coefficiente o c’è un cambio di segno, il sistema è già instabile e non serve costruire la tabella. Il criterio è prezioso anche per trovare l’intervallo di un parametro (es. il guadagno) che mantiene la stabilità.
5. Sistemi in retroazione
Funzione di trasferimento ad anello chiuso
Ecco il cuore del controllo. Con funzione diretta G(s) (sistema + regolatore) e retroazione H(s) (il sensore), la funzione ad anello chiuso è:
Per retroazione unitaria (H = 1, si misura direttamente l’uscita):
La formula racchiude la magia e il pericolo della retroazione. Se il guadagno d’anello G(s)H(s) è grande, W(s) \approx 1: l’uscita insegue il riferimento quasi perfettamente, indipendentemente dai dettagli di G (robustezza ai disturbi e alle incertezze). Ma il denominatore 1 + GH può annullarsi, e lì sta il rischio di instabilità.
Equazione caratteristica
I poli ad anello chiuso — che decidono la stabilità del sistema controllato — sono le radici dell’equazione caratteristica:
Questo è il punto fondamentale: i poli ad anello chiuso non coincidono con quelli ad anello aperto, e cambiano al variare del guadagno del regolatore. Come si muovono nel piano s al crescere del guadagno è lo studio del luogo delle radici; quando un ramo attraversa l’asse immaginario, l’anello diventa instabile. Progettare il controllo significa scegliere il regolatore perché questi poli stiano dove vogliamo.
6. Risposta in frequenza e diagrammi di Bode
Risposta in frequenza
Ponendo s = j\omega si ottiene la risposta in frequenza G(j\omega): come il sistema risponde, in ampiezza e fase, a ingressi sinusoidali di ogni frequenza. È un punto di vista complementare a quello temporale, e particolarmente comodo per la retroazione perché trasforma lo studio della stabilità in lettura di grafici.
Diagrammi di Bode
La risposta in frequenza si rappresenta con due grafici a frequenza logaritmica:
La scelta dei decibel e della scala logaritmica non è estetica: trasforma i prodotti in somme. Poiché G(s) è un prodotto di fattori (poli e zeri), il diagramma complessivo è la somma dei contributi dei singoli fattori, ciascuno con un andamento asintotico semplice (rette con pendenza multipla di \pm 20 dB/decade). Si traccia così a mano, scommando pezzi elementari — il motivo della loro fortuna didattica e pratica. Ogni polo aggiunge -20 dB/decade e -90°; ogni zero il contrario.
7. Margini di stabilità
Margine di guadagno e margine di fase
Un anello può essere stabile ma vicino all’instabilità: basterebbe poco (un ritardo, una variazione di guadagno) per farlo oscillare. I margini misurano questa distanza di sicurezza, letti sul diagramma di Bode dell’anello aperto.
Il margine di fase si misura alla pulsazione \omega_t dove il modulo vale 0 dB (guadagno unitario):
Il margine di guadagno si misura alla pulsazione \omega_\pi dove la fase vale -180°:
L’idea: l’instabilità si innesca quando, alla stessa frequenza, il guadagno è 1 e la fase è -180° (la retroazione negativa diventa positiva e si autoalimenta). I margini dicono quanto siamo lontani da questa condizione critica su ciascuno dei due fronti. Margini ampi = anello robusto; margini piccoli = sistema “nervoso”, vicino all’oscillazione. Valori di progetto tipici: margine di fase 30°–60°, margine di guadagno > 6 dB.
8. Regolatori PID ed errore a regime
Legge di controllo PID
Il PID è il regolatore più usato al mondo: agisce sull’errore e(t) (differenza tra desiderato e misurato) combinando tre azioni che lo guardano da tre prospettive temporali:
In funzione di trasferimento:
Il proporzionale guarda l’errore presente, l’integrale quello passato accumulato, il derivativo la sua tendenza futura.
Effetto delle tre azioni
| Azione | Effetto principale | Svantaggio |
|---|---|---|
| Proporzionale | reagisce all’errore, accelera | da sola lascia un offset, può oscillare |
| Integrale | annulla l’errore a regime | rallenta, rischio di windup |
| Derivativa | smorza e anticipa | amplifica il rumore di misura |
L’equilibrio tra le tre è la taratura, l’arte centrale del controllo: il P dà prontezza ma lascia errore residuo e tende a oscillare; l’I elimina l’errore ma può rendere lento e instabile (e accumula in saturazione: il windup); il D stabilizza ma è sensibile al rumore. Spesso si usa solo PI, aggiungendo D solo se serve smorzare.
Errore a regime
Quanto preciso è il sistema a regime? L’errore stazionario, via teorema del valore finale, è:
Dipende dal tipo del sistema (numero di poli nell’origine, cioè integratori) e dall’ingresso. Sintetizzando con le costanti di errore:
| Tipo sistema | Errore al gradino | Errore alla rampa |
|---|---|---|
| 0 | \dfrac{1}{1+K_p} | \infty |
| 1 | 0 | \dfrac{1}{K_v} |
| 2 | 0 | 0 |
La lettura è istruttiva: un sistema di tipo 0 (nessun integratore) ha errore costante al gradino e non insegue affatto una rampa; aggiungendo un integratore (tipo 1) l’errore al gradino si annulla ma resta finito sulla rampa; con due integratori (tipo 2) si annulla anche sulla rampa. Ecco perché l’azione integrale del PID annulla l’errore a regime: aggiunge un polo nell’origine, alzando il tipo del sistema. È la giustificazione formale dell’uso dell’integrale.
Note d’uso ed errori comuni
- La funzione di trasferimento vale a condizioni iniziali nulle: per condizioni non nulle, includere i termini iniziali nella trasformata della derivata.
- La stabilità dipende dai poli, non dagli zeri: uno zero a parte reale positiva (sistema a fase non minima) non rende instabile ma complica il controllo (risposta che parte “nel verso sbagliato”).
- Il teorema del valore finale vale solo per sistemi stabili: non applicarlo altrimenti.
- Il criterio di Routh dà la stabilità (e quanti poli instabili), ma non la loro posizione esatta.
- Nei diagrammi di Bode la frequenza è logaritmica e il modulo in decibel; ogni polo: -20 dB/dec e -90°.
- Il margine di fase si legge dove il modulo è 0 dB; quello di guadagno dove la fase è -180°.
- L’azione integrale annulla l’errore a regime ma causa windup in saturazione: prevedere l’anti-windup.
- L’azione derivativa amplifica il rumore: va sempre filtrata, o applicata alla sola misura e non al riferimento.
- La sovraelongazione dipende solo da \zeta: si progetta \zeta per le oscillazioni, \omega_n per la velocità.