Trasformata Z

La trasformata Z è un operatore matematico che trasforma una successione di valori (segnale a tempo discreto $x[n]$) in una funzione di variabile complessa $X(z)$. Rappresenta per i sistemi discreti ciò che la trasformata di Laplace rappresenta per i sistemi continui.

Definizione

Data una successione $x[n]$, la trasformata Z è definita come: $X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] z^{-n}$ dove $z$ è una variabile complessa.

Significato Ingegneristico

• Elaborazione Numerica dei Segnali (DSP): Progetto e analisi di filtri digitali. La funzione di trasferimento $H(z)$ permette di calcolare la risposta in frequenza di un algoritmo di filtraggio.
• Controlli Digitali: Analisi di sistemi di controllo implementati su microcontrollori o PLC, dove il campionamento introduce una natura discreta nel tempo.
• Stabilità: Lo studio della stabilità avviene verificando se i poli della funzione di trasferimento si trovano all’interno del cerchio unitario nel piano complesso $z$.
• Equazioni alle Differenze: Trasforma equazioni ricorsive (tipiche dei codici di calcolo) in equazioni algebriche facilmente risolvibili.