La trasformata Z è un operatore matematico che trasforma una successione di valori (segnale a tempo discreto x[n]) in una funzione di variabile complessa X(z). Rappresenta per i sistemi discreti ciò che la trasformata di Laplace rappresenta per i sistemi continui.
Definizione
Data una successione x[n], la trasformata Z è definita come: X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] z^{-n} dove z è una variabile complessa.
Significato Ingegneristico
- Elaborazione Numerica dei Segnali (DSP): Progetto e analisi di filtri digitali. La funzione di trasferimento H(z) permette di calcolare la risposta in frequenza di un algoritmo di filtraggio.
- Controlli Digitali: Analisi di sistemi di controllo implementati su microcontrollori o PLC, dove il campionamento introduce una natura discreta nel tempo.
- Stabilità: Lo studio della stabilità avviene verificando se i poli della funzione di trasferimento si trovano all’interno del cerchio unitario nel piano complesso z.
- Equazioni alle Differenze: Trasforma equazioni ricorsive (tipiche dei codici di calcolo) in equazioni algebriche facilmente risolvibili.