Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è uno strumento matematico di importanza fondamentale nell’ingegneria dei sistemi e nell’elettronica. Permette di trasformare equazioni differenziali lineari (difficili da risolvere direttamente nel dominio del tempo $t$) in equazioni algebriche molto più semplici nel dominio della variabile complessa $s = \sigma + j\omega$.

Data una funzione $f(t)$ definita per $t \ge 0$, la sua trasformata di Laplace $F(s)$ è definita dall’integrale:

$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt$$

Il principale vantaggio ingegneristico della trasformata di Laplace risiede nella proprietà di derivazione: l’operazione di derivata nel tempo corrisponde a una semplice moltiplicazione per $s$ nel dominio complesso (a meno delle condizioni iniziali):

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$

Questa proprietà permette di definire la Funzione di Trasferimento $H(s)$ di un sistema dinamico come il rapporto tra la trasformata dell’uscita e quella dell’ingresso. Grazie a Laplace, lo studio della stabilità di un sistema, della sua risposta in frequenza e la progettazione di controllori (come i PID) diventano operazioni algebriche basate sulla posizione dei poli e degli zeri nel piano complesso.

Proprietà Fondamentali

Proprietà	Nel tempo	In frequenza
Linearità	$af(t) + bg(t)$	$aF(s) + bG(s)$
Traslazione temporale	$f(t-a)u(t-a)$	$e^{-as}F(s)$
Traslazione in $s$	$e^{at}f(t)$	$F(s-a)$
Derivata	$f'(t)$	$sF(s) - f(0^+)$
Integrale	$\int_0^t f\,d\tau$	$\frac{1}{s}F(s)$
Convoluzione	$(f*g)(t)$	$F(s)G(s)$

Tavola delle Trasformate Notevoli

$f(t)$	$F(s)$
$1$	$\frac{1}{s}$
$t^n$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{at}$	$\frac{1}{s-a}$
$\sin(\omega t)$	$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$\cos(\omega t)$	$\frac{s}{s^2+\omega^2}$
$\delta(t)$	$1$

Antitrasformata e Funzioni Generalizzate

L’antitrasformata si calcola in pratica tramite fratti semplici. Le funzioni generalizzate più usate:

• Gradino di Heaviside $u(t)$: trasformata $1/s$, modella l’accensione improvvisa di una forzante.
• Delta di Dirac $\delta(t)$: trasformata $= 1$, modella un impulso istantaneo.