La trasformata di Laplace è uno strumento matematico di importanza fondamentale nell’ingegneria dei sistemi e nell’elettronica. Permette di trasformare equazioni differenziali lineari (difficili da risolvere direttamente nel dominio del tempo t) in equazioni algebriche molto più semplici nel dominio della variabile complessa s = \sigma + j\omega.
Data una funzione f(t) definita per t \ge 0, la sua trasformata di Laplace F(s) è definita dall’integrale:
Il principale vantaggio ingegneristico della trasformata di Laplace risiede nella proprietà di derivazione: l’operazione di derivata nel tempo corrisponde a una semplice moltiplicazione per s nel dominio complesso (a meno delle condizioni iniziali):
Questa proprietà permette di definire la Funzione di Trasferimento H(s) di un sistema dinamico come il rapporto tra la trasformata dell’uscita e quella dell’ingresso. Grazie a Laplace, lo studio della stabilità di un sistema, della sua risposta in frequenza e la progettazione di controllori (come i PID) diventano operazioni algebriche basate sulla posizione dei poli e degli zeri nel piano complesso.
Proprietà Fondamentali
| Proprietà | Nel tempo | In frequenza |
|---|---|---|
| Linearità | af(t) + bg(t) | aF(s) + bG(s) |
| Traslazione temporale | f(t-a)u(t-a) | e^{-as}F(s) |
| Traslazione in s | e^{at}f(t) | F(s-a) |
| Derivata | f'(t) | sF(s) - f(0^+) |
| Integrale | \int_0^t f\,d\tau | \frac{1}{s}F(s) |
| Convoluzione | (f*g)(t) | F(s)G(s) |
Tavola delle Trasformate Notevoli
| f(t) | F(s) |
|---|---|
| 1 | \frac{1}{s} |
| t^n | \frac{n!}{s^{n+1}} |
| e^{at} | \frac{1}{s-a} |
| \sin(\omega t) | \frac{\omega}{s^2+\omega^2} |
| \cos(\omega t) | \frac{s}{s^2+\omega^2} |
| \delta(t) | 1 |
Antitrasformata e Funzioni Generalizzate
L’antitrasformata si calcola in pratica tramite fratti semplici. Le funzioni generalizzate più usate:
- Gradino di Heaviside u(t): trasformata 1/s, modella l’accensione improvvisa di una forzante.
- Delta di Dirac \delta(t): trasformata = 1, modella un impulso istantaneo.