Tipo del sistema

Il tipo del sistema è il numero di integratori puri presenti nella funzione d’anello di un sistema retroazionato. Nei controlli automatici è una classificazione usata per prevedere l’errore a regime verso ingressi standard, come gradino, rampa e parabola, senza risolvere ogni volta l’intera risposta temporale.

Nel caso classico di retroazione negativa, si indica con $L(s)$ la funzione d’anello:

L(s)=C(s)G(s)H(s),

dove $C(s)$ è il controllore, $G(s)$ l’impianto e $H(s)$ il ramo di misura o feedback. Se, vicino all’origine, $L(s)$ può essere scritta come

L(s)=\dfrac{K\,N(s)}{s^mD(s)}

con $N(0)\ne0$ , $D(0)\ne0$ e $K\ne0$ , allora il sistema è di tipo $m$ . In parole semplici: il tipo è il numero di poli nell’origine della funzione d’anello, dopo aver isolato eventuali fattori $s$ al denominatore che non sono cancellati da fattori equivalenti al numeratore.

Perché il tipo conta

Il tipo del sistema dice quante volte l’anello integra l’errore. Un integratore accumula uno scarto persistente e modifica il comando finché quello scarto non viene compensato. Per questo un sistema di tipo più alto tende a seguire meglio riferimenti lenti o polinomiali, ma paga un prezzo dinamico: più ritardo di fase, margini di stabilità più delicati e maggiore rischio di oscillazioni o saturazione.

La regola intuitiva è:

\text{tipo }m \quad\Rightarrow\quad \text{errore nullo per ingressi polinomiali di grado minore di }m.

Un sistema di tipo $0$ può avere errore finito al gradino, ma non lo annulla in generale. Un sistema di tipo $1$ annulla l’errore al gradino e ha errore finito alla rampa. Un sistema di tipo $2$ annulla anche l’errore alla rampa e ha errore finito alla parabola.

Queste conclusioni valgono nella forma standard solo se l’anello chiuso è stabile e se si applica correttamente il teorema del valore finale.

Tabella operativa

Per retroazione unitaria stabile, con errore $e(t)=r(t)-y(t)$ , si usa spesso la tabella seguente:

Tipo del sistema	Gradino unitario	Rampa unitaria	Parabola unitaria
0	errore finito	errore infinito	errore infinito
1	errore nullo	errore finito	errore infinito
2	errore nullo	errore nullo	errore finito
3	errore nullo	errore nullo	errore nullo

La tabella non dice nulla sulla qualità del transitorio. Un sistema può avere errore finale nullo e allo stesso tempo essere lento, oscillatorio, poco robusto o sensibile al rumore. Il tipo è quindi una specifica statica, non un progetto completo del regolatore.

Costanti statiche

Per retroazione unitaria, la funzione di errore rispetto al riferimento è

E(s)=\dfrac{R(s)}{1+L(s)}.

Applicando il valore finale,

e_\infty=\lim_{t\to\infty}e(t)=\lim_{s\to0}sE(s),

se il limite è applicabile. Le costanti statiche d’errore sono:

K_p=\lim_{s\to0}L(s), \qquad K_v=\lim_{s\to0}sL(s), \qquad K_a=\lim_{s\to0}s^2L(s).

Per gradino unitario, rampa unitaria e parabola unitaria $r(t)=t^2/2$ :

e_{\infty,\text{gradino}}=\dfrac{1}{1+K_p}, \qquad e_{\infty,\text{rampa}}=\dfrac{1}{K_v}, \qquad e_{\infty,\text{parabola}}=\dfrac{1}{K_a}.

Il tipo del sistema stabilisce quali di queste costanti sono nulle, finite o infinite. Per un sistema di tipo $0$ , $K_p$ è finito mentre $K_v$ e $K_a$ sono nulli; l’errore alla rampa e alla parabola risulta quindi infinito. Per un sistema di tipo $1$ , $K_p$ è infinito, $K_v$ è finito e $K_a$ è nullo. Per un sistema di tipo $2$ , $K_p$ e $K_v$ sono infiniti, mentre $K_a$ è finito.

Esempi rapidi

Consideriamo un anello

L(s)=\dfrac{10}{s+2}.

Non ci sono poli nell’origine, quindi il sistema è di tipo $0$ . La costante di posizione vale

K_p=\lim_{s\to0}\dfrac{10}{s+2}=5,

e l’errore al gradino unitario è

e_{\infty,\text{gradino}}=\dfrac{1}{1+5}=\dfrac{1}{6}.

Con

L(s)=\dfrac{10}{s(s+2)},

compare un integratore: il sistema è di tipo $1$ . Ora $K_p$ è infinito e l’errore al gradino è nullo. Per la rampa:

K_v=\lim_{s\to0}s\,\dfrac{10}{s(s+2)}=5, \qquad e_{\infty,\text{rampa}}=\dfrac{1}{5}.

Con due integratori nell’anello, il sistema diventerebbe di tipo $2$ e potrebbe annullare l’errore alla rampa, purché l’anello chiuso resti stabile.

Effetto dell’azione integrale

L’azione integrale di un regolatore PID aggiunge un polo nell’origine nel controllore ideale:

C_I(s)=\dfrac{K_i}{s}.

Se questo integratore entra effettivamente nella funzione d’anello e non viene cancellato, può aumentare il tipo del sistema. Il beneficio principale è la riduzione o eliminazione dell’errore statico. Il costo è una dinamica più critica: l’integratore aggiunge fase negativa, può ridurre i margini di stabilità, aumenta il rischio di sovraelongazione e può causare windup quando l’attuatore satura.

Per questo, in un progetto reale, il tipo non si sceglie isolatamente. Si valuta insieme a funzione di trasferimento, diagramma di Bode, luogo delle radici, robustezza, saturazioni e rumore di misura.

Retroazione non unitaria

Le formule più note sono scritte per retroazione unitaria. Se il ramo di feedback è $H(s)\ne1$ , bisogna distinguere l’errore di confronto interno dal vero errore tra riferimento fisico e uscita. La funzione d’anello resta $L(s)=C(s)G(s)H(s)$ , ma il calcolo dell’errore rispetto al riferimento può richiedere la funzione di trasferimento completa del sistema.

In questi casi la classificazione per tipo è ancora utile, ma non va applicata meccanicamente. Occorre scrivere il segnale di errore corretto, verificare la stabilità ad anello chiuso e poi usare il teorema del valore finale sulla grandezza di interesse.

Cancellazioni e modelli reali

Una cancellazione esatta di un polo nell’origine con uno zero nell’origine può cambiare il tipo apparente della funzione d’anello ridotta. Nei modelli ideali questo è un passaggio algebrico lecito; nei sistemi fisici, però, le cancellazioni esatte sono sospette. Un polo instabile o marginale cancellato nella funzione ingresso-uscita può restare presente nella dinamica interna o riapparire per incertezza parametrica.

Inoltre, un integratore ideale non è sempre realizzabile senza limiti: sensori rumorosi, attuatori saturi, drift, attrito, dead zone e quantizzazione possono alterare l’errore finale previsto dal modello lineare. Il tipo del sistema è quindi una proprietà del modello lineare adottato, non una garanzia automatica sulla macchina reale.

Collegamento con stabilità e prestazioni

Il tipo del sistema riguarda la precisione a regime, mentre la stabilità del sistema riguarda l’esistenza e la finitezza della risposta. Senza stabilità dell’anello chiuso, parlare di errore a regime non ha significato operativo: il transitorio non si esaurisce e il valore finale può non esistere.

Anche quando il sistema è stabile, aumentare il tipo può peggiorare le prestazioni dinamiche. Un integratore riduce l’errore a bassa frequenza, ma abbassa la fase dell’anello; due integratori rendono ancora più delicata la stabilizzazione. Il progetto deve quindi bilanciare precisione statica, rapidità, smorzamento, rumore e robustezza.

Errori comuni

Un primo errore è contare i poli nell’origine della funzione di trasferimento chiusa invece che della funzione d’anello. Il tipo è una proprietà dell’anello, non direttamente del trasferimento riferimento-uscita.

Un secondo errore è applicare la tabella gradino-rampa-parabola senza verificare la stabilità ad anello chiuso. Le formule dell’errore finale presuppongono che il limite esista.

Un terzo errore è confondere tipo e ordine del sistema. L’ordine conta il numero complessivo di poli dinamici; il tipo conta solo i poli nell’origine della funzione d’anello.

Un quarto errore è credere che più integratori siano sempre migliori. L’integrale migliora l’errore statico, ma può ridurre margini, amplificare problemi di saturazione e rendere il sistema più oscillatorio.

Un quinto errore è usare formule di retroazione unitaria quando il sensore o il ramo di ritorno non sono unitari. In quel caso bisogna ridefinire con precisione quale errore si sta misurando.