In un anello in retroazione, l’errore a regime misura quanto l’uscita si discosta dal riferimento una volta esaurito il transitorio. Dipende da due cose: il tipo di ingresso (gradino, rampa, parabola) e il tipo di sistema, cioè il numero di integratori 1/s nella funzione d’anello. Questa scheda usa il teorema del valore finale e le costanti d’errore.
Per retroazione unitaria, errore E(s)=\dfrac{R(s)}{1+L(s)} e
e_\infty=\lim_{s\to0}\dfrac{s\,R(s)}{1+L(s)}.
1. Tipo di un sistema
Esercizio. Determinare il tipo della funzione d’anello L(s)=\dfrac{5}{s(s+2)}.
Il tipo è il numero di poli nell’origine (s=0) della funzione d’anello. Qui c’è un solo fattore s al denominatore:
\text{tipo}=1.
Il tipo decide quali ingressi il sistema insegue a errore nullo: tipo 0 insegue solo costanti, tipo 1 anche rampe, ecc.
2. Costante di posizione
Esercizio. Per un sistema di tipo 0, L(s)=\dfrac{10}{(s+1)(s+5)}, calcolare la costante di posizione K_p.
K_p=\lim_{s\to0}L(s)=\dfrac{10}{(1)(5)}=2.
K_p governa l’errore al gradino: è finito (sistema tipo 0), quindi l’errore al gradino sarà finito e non nullo.
3. Errore al gradino (sistema tipo 0)
Esercizio. Per il sistema del punto 2, calcolare l’errore a regime con riferimento a gradino unitario.
L’errore al gradino con retroazione unitaria è:
e_\infty=\dfrac{1}{1+K_p}=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac{1}{3}=0{,}33.
Un sistema di tipo 0 lascia un errore finito al gradino: l’uscita si ferma al 67\% del riferimento. Per annullarlo serve un integratore.
4. Errore al gradino (sistema tipo 1)
Esercizio. Per il sistema di tipo 1 del punto 1, L(s)=\dfrac{5}{s(s+2)}, calcolare l’errore al gradino.
Con un integratore, la costante di posizione diverge:
K_p=\lim_{s\to0}L(s)=\infty.
Quindi:
e_\infty=\dfrac{1}{1+K_p}=\dfrac{1}{1+\infty}=0.
Un sistema di tipo \ge1 insegue il gradino a errore nullo: l’integratore elimina l’errore statico. È il motivo per cui l’azione integrale è così usata.
5. Costante di velocità ed errore alla rampa
Esercizio. Per L(s)=\dfrac{5}{s(s+2)} (tipo 1), calcolare l’errore a regime con riferimento a rampa unitaria.
Passo 1 — costante di velocità:
K_v=\lim_{s\to0}s\,L(s)=\lim_{s\to0}\dfrac{5}{s+2}=\dfrac{5}{2}=2{,}5.
Passo 2 — errore alla rampa:
e_\infty=\dfrac{1}{K_v}=\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}40.
Un sistema di tipo 1 insegue la rampa con errore finito (qui 0{,}40): l’uscita “rincorre” il riferimento mantenendo uno sfasamento costante. Per annullarlo servirebbe il tipo 2.
6. Costante di accelerazione ed errore alla parabola
Esercizio. Per un sistema di tipo 2, L(s)=\dfrac{8}{s^2(s+4)}, calcolare l’errore alla parabola unitaria r(t)=\dfrac{1}{2} t^2.
Passo 1 — costante di accelerazione:
K_a=\lim_{s\to0}s^2 L(s)=\lim_{s\to0}\dfrac{8}{s+4}=\dfrac{8}{4}=2.
Passo 2 — errore alla parabola:
e_\infty=\dfrac{1}{K_a}=\dfrac{1}{2}=0{,}50.
Il tipo 2 insegue gradino e rampa a errore nullo, e la parabola con errore finito. Ogni integratore aggiuntivo “promuove” il sistema a inseguire un ingresso di grado superiore.
7. Tabella riassuntiva errore–tipo
Esercizio. Riassumere l’errore a regime in funzione di tipo e ingresso.
| Tipo del sistema | Gradino | Rampa | Parabola |
|---|---|---|---|
| 0 | \dfrac{1}{1+K_p} | \infty | \infty |
| 1 | 0 | \dfrac{1}{K_v} | \infty |
| 2 | 0 | 0 | \dfrac{1}{K_a} |
Lettura: sulla diagonale l’errore è finito; sopra è nullo; sotto diverge. Aumentare il tipo annulla gli errori di ordine inferiore, ma rende più difficile stabilizzare l’anello.
8. Effetto del guadagno sull’errore
Esercizio. Nel sistema del punto 5 (K_v=2{,}5), come ridurre l’errore alla rampa agendo sul guadagno?
L’errore alla rampa è \displaystyle \dfrac{1}{K_v}, con costante
K_v=\lim_{s\to0}sL(s).
Se si aumenta il guadagno d’anello di un fattore \alpha:
K_v'=\alpha K_v\ \Rightarrow\ e_\infty'=\dfrac{1}{\alpha K_v}=\dfrac{e_\infty}{\alpha}.
Triplicando il guadagno (\alpha=3): e_\infty'=0{,}40/3=0{,}13. L’errore cala, ma il guadagno più alto erode i margini di stabilità (cfr. esercizi su Nyquist). È il compromesso precisione–stabilità: spesso conviene aggiungere un integratore invece di alzare brutalmente il guadagno.
Errori comuni
- Contare male il tipo. Il tipo è il numero di poli nell’origine della funzione d’anello, non l’ordine totale del sistema.
- Usare la costante d’errore sbagliata. Gradino → K_p, rampa → K_v, parabola → K_a: ciascuna con il suo limite (L, sL, s^2L per s\to0).
- Applicare le formule a sistema instabile. L’errore a regime ha senso solo se l’anello chiuso è stabile; altrimenti l’uscita non converge e e_\infty non esiste.
- Dimenticare la retroazione non unitaria. Le formule 1/(1+K_p) ecc. valgono per retroazione unitaria; con H(s)\ne1 va ridefinito l’errore rispetto al riferimento corretto.