I diagrammi di Bode rappresentano modulo (in decibel) e fase di una funzione di trasferimento G(j\omega) al variare della pulsazione, su scala logaritmica. Sono lo strumento principe dell’analisi in frequenza: permettono di tracciare il comportamento di un sistema sommando i contributi asintotici di poli e zeri. Questa scheda allena il calcolo dei decibel, l’individuazione delle pulsazioni di rottura e le pendenze.
Conversione fondamentale: \;|G|_{dB}=20\log_{10}|G(j\omega)|.
1. Guadagno costante in decibel
Esercizio. Una funzione ha guadagno statico K=100. Esprimerlo in decibel.
K_{dB}=20\log_{10}(100)=20\times2=40\ \text{dB}.
Memo: ogni fattore \times10 aggiunge 20\ \text{dB}, ogni fattore \times2 aggiunge \approx6\ \text{dB}. Il guadagno costante è una retta orizzontale a 40\,dB.
2. Pulsazione di rottura di un polo
Esercizio. Per G(s)=\dfrac{1}{1+s/10}, trovare la pulsazione di rottura e la pendenza oltre di essa.
La pulsazione di rottura è dove il termine reattivo eguaglia quello reale:
\omega_p=10\ \text{rad/s}.
Per \omega<\omega_p il modulo è \approx0\ \text{dB} (piatto). Per \omega>\omega_p il polo introduce una pendenza di \mathbf{-20\ dB/decade}. Alla rottura il modulo vero è -3\ \text{dB} sotto l’asintoto.
3. Pulsazione di rottura di uno zero
Esercizio. Per G(s)=1+s/2, trovare rottura e pendenza.
\omega_z=2\ \text{rad/s}.
Lo zero ha effetto opposto al polo: per \omega>\omega_z aggiunge \mathbf{+20\ dB/decade}. Alla rottura il modulo vero è +3\ \text{dB} sopra l’asintoto.
4. Polo nell’origine (integratore)
Esercizio. Per G(s)=\dfrac{1}{s}, descrivere il diagramma del modulo.
L’integratore 1/s ha modulo |G(j\omega)|=1/\omega:
|G|_{dB}=20\log_{10}\dfrac{1}{\omega}=-20\log_{10}\omega.
È una retta con pendenza costante \mathbf{-20\ dB/decade} su tutto l’asse, che passa per 0\ \text{dB} a \omega=1\ \text{rad/s}. La fase è costante a -90^\circ.
5. Tracciamento preciso del modulo di un sistema completo
Esercizio. Tracciare il modulo effettivo di G(s)=\dfrac{100}{s(1+s/10)} e usare gli asintoti solo come controllo mentale.
Passo 1 — fattori: guadagno K=100 (40\,dB), un polo nell’origine, un polo a \omega_p=10.
Passo 2 — formula esatta del modulo:
Passo 3 — lettura qualitativa delle pendenze:
- \omega<10: contribuisce K (+40\,dB) e il polo nell’origine (-20\,dB/dec) → pendenza -20\ \text{dB/dec};
- \omega>10: si aggiunge il polo a 10 → pendenza diventa -40\ \text{dB/dec}.
I punti numerici vanno però calcolati sulla formula reale: a \omega=1 il modulo è 39{,}96\,dB; a \omega=10 è 16{,}99\,dB, non 20\,dB, perché il polo di rottura pesa già -3{,}01\,dB.
- modulo esatto
6. Pulsazione di attraversamento (crossover)
Esercizio. Per il sistema del punto 5, stimare la pulsazione \omega_c a cui il modulo attraversa 0\ \text{dB}.
Se si prolungasse ingenuamente il primo tratto a -20\,dB/dec da \omega=1, servirebbero 40\,dB di discesa, cioè due decadi:
\omega_c=1\times10^{2}=100\ \text{rad/s}\ \text{(stima sull'asintoto a }-20\text{ dB/dec)}.
Questa però è una stima non coerente con il cambio di pendenza: oltre \omega=10 il modulo scende a -40\,dB/dec. L’asintoto corretto dà una prima stima:
\omega_c\approx10\sqrt{10}=31{,}6\ \text{rad/s}.
Il valore preciso si ottiene imponendo il modulo esatto uguale a 1:
La \omega_c è il dato chiave per i margini di stabilità: va letta sulla curva effettiva, non sul prolungamento di un tratto asintotico ormai superato.
7. Modulo esatto a una pulsazione
Esercizio. Per G(s)=\dfrac{10}{1+s/5}, calcolare il modulo esatto in dB a \omega=5\ \text{rad/s}.
|G(j5)|=\dfrac{10}{\sqrt{1+(5/5)^2}}=\dfrac{10}{\sqrt2}=7{,}07.
|G|_{dB}=20\log_{10}(7{,}07)=20\times0{,}849=17{,}0\ \text{dB}.
L’asintoto darebbe 20\log_{10}(10)=20\,dB: alla rottura il valore vero è 3\,dB sotto, coerente con il punto 2.
8. Stima della fase
Esercizio. Per il sistema del punto 5, stimare la fase a frequenze molto basse e molto alte.
La fase è la somma dei contributi:
- molto basse (\omega\ll10): polo nell’origine -90^\circ, polo a 10 ancora \approx0^\circ → fase \approx-90^\circ;
- molto alte (\omega\gg10): polo nell’origine -90^\circ più polo a 10 ormai -90^\circ → fase \approx-180^\circ.
La fase passa progressivamente da -90^\circ a -180^\circ attraversando la rottura. Avvicinarsi a -180^\circ in prossimità di \omega_c è ciò che riduce il margine di fase e mette a rischio la stabilità.
Errori comuni
- Sbagliare il verso della pendenza. Un polo dà -20\,dB/dec, uno zero +20\,dB/dec: confonderli inverte tutto il diagramma.
- Usare \log in base e. I decibel usano \log_{10}; usare il logaritmo naturale altera ogni valore.
- Dimenticare il polo nell’origine. L’integratore 1/s parte già con pendenza -20\,dB/dec da \omega\to0 e impone fase -90^\circ: spesso trascurato nel tracciamento.
- Leggere \omega_c sull’asintoto sbagliato. Se la pendenza cambia prima dell’attraversamento di 0\,dB, la stima va fatta sul tratto corretto, altrimenti \omega_c risulta errata.