Risposta in frequenza, filtri e risonanza: esercizi svolti

Quando un circuito contiene condensatori o induttori, il suo comportamento dipende dalla frequenza: la reattanza cambia con $\omega$ , e la rete amplifica o attenua selettivamente. Questa scheda copre i filtri del primo ordine (RC, RL) e i circuiti risonanti RLC, con il calcolo di frequenze di taglio, guadagno in decibel, risonanza e banda passante.

Reattanze di riferimento: $X_L=\omega L$ , $X_C=\dfrac{1}{\omega C}$ , con $\omega=2\pi f$ .

1. Frequenza di taglio di un filtro RC

Esercizio. Un filtro RC con $R=1{,}0\ \text{k}\Omega$ e $C=159\ \text{nF}$ . Calcolare la frequenza di taglio.

La frequenza di taglio è quella in cui $X_C=R$ , cioè dove l’uscita scende a $1/\sqrt2$ dell’ingresso:

\begin{aligned} f_t &=\dfrac{1}{2\pi RC}\\ &=\dfrac{1}{2\pi\times1000\times159\times10^{-9}}\\ &=\dfrac{1}{10^{-3}}\\ &=1{,}0\times10^{3}\ \text{Hz} =1{,}0\ \text{kHz}. \end{aligned}

2. Filtro RC passa-basso

Esercizio. Nel filtro precedente, con uscita prelevata sul condensatore, calcolare il guadagno in modulo alla frequenza di taglio.

Passa-basso RC: uscita ai capi di C; alle alte frequenze C cortocircuita il segnale.

La funzione di trasferimento è un partitore tra $R$ e $X_C$ :

\begin{aligned} \left|\dfrac{v_{out}}{v_{in}}\right| &=\dfrac{X_C}{\sqrt{R^2+X_C^2}}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1+(f/f_t)^2}}. \end{aligned}

Alla frequenza di taglio $f=f_t$ :

\begin{aligned} \left|\dfrac{v_{out}}{v_{in}}\right| &=\dfrac{1}{\sqrt{1+1}}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt2}\\ &=0{,}707. \end{aligned}

Sotto $f_t$ il segnale passa quasi intatto; sopra, viene attenuato: è un passa-basso.

3. Guadagno in decibel alla frequenza di taglio

Esercizio. Esprimere in decibel il guadagno $0{,}707$ del punto 2.

\begin{aligned} A_{dB} &=20\log_{10}\left|\dfrac{v_{out}}{v_{in}}\right|\\ &=20\log_{10}(0{,}707)\\ &=20\times(-0{,}151)\\ &=-3{,}0\ \text{dB}. \end{aligned}

La frequenza di taglio è per definizione il punto a $-3\ \text{dB}$ : lì la potenza si dimezza. Da qui il nome “frequenza dei $-3$ dB”.

4. Pendenza fuori banda

Esercizio. A una decade oltre la frequenza di taglio ( $f=10\,f_t$ ), quanto vale l’attenuazione di un passa-basso del primo ordine?

Per $f\gg f_t$ il modulo tende a $f_t/f$ :

\begin{aligned} \left|\dfrac{v_{out}}{v_{in}}\right| &\approx\dfrac{f_t}{f}\\ &=\dfrac{1}{10} =0{,}1,\\ A_{dB} &=20\log_{10}(0{,}1)\\ &=-20\ \text{dB}. \end{aligned}

Un filtro del primo ordine attenua di $-20\ \text{dB}$ per decade (cioè $-6\ \text{dB/ottava}$ ). Per pendenze maggiori servono ordini superiori.

5. Filtro RC passa-alto

Esercizio. Stessi $R$ e $C$ , ma uscita prelevata sul resistore. Qualitativamente e quantitativamente, che filtro è e quanto vale il guadagno a $f_t$ ?

Scambiando l’uscita, il partitore diventa:

\begin{aligned} \left|\dfrac{v_{out}}{v_{in}}\right| &=\dfrac{R}{\sqrt{R^2+X_C^2}}\\ &=\dfrac{f/f_t}{\sqrt{1+(f/f_t)^2}}. \end{aligned}

A $f=f_t$ vale ancora $1/\sqrt2=0{,}707$ ( $-3\ \text{dB}$ ), ma il comportamento è invertito: le basse frequenze sono bloccate ( $X_C$ grande) e le alte passano. È un passa-alto.

6. Filtro RL passa-basso

Esercizio. Un filtro RL con $R=470\ \Omega$ e $L=15\ \text{mH}$ , uscita sul resistore. Calcolare la frequenza di taglio.

Per il filtro RL la frequenza di taglio è dove $X_L=R$ :

\begin{aligned} f_t &=\dfrac{R}{2\pi L}\\ &=\dfrac{470}{2\pi\times15\times10^{-3}}\\ &=\dfrac{470}{0{,}0942}\\ &=4{,}99\times10^{3}\ \text{Hz}\\ &\approx5{,}0\ \text{kHz}. \end{aligned}

Con uscita sul resistore: alle basse frequenze $X_L$ è piccola e il segnale passa, alle alte $X_L$ blocca → passa-basso.

7. Frequenza di risonanza serie RLC

Esercizio. Circuito serie RLC con $R=10\ \Omega$ , $L=1{,}0\ \text{mH}$ , $C=100\ \text{nF}$ . Calcolare la frequenza di risonanza.

Alla risonanza le reattanze si annullano a vicenda ( $X_L=X_C$ ) e l’impedenza è puramente resistiva, minima:

\begin{aligned} f_0 &=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\\ &=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{1{,}0\times10^{-3}\times100\times10^{-9}}}\\ &=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{10^{-10}}}\\ &=\dfrac{1}{2\pi\times10^{-5}}\\ &=1{,}59\times10^{4}\ \text{Hz}\\ &\approx15{,}9\ \text{kHz}. \end{aligned}

8. Fattore di qualità e banda passante

Esercizio. Per il circuito risonante del punto 7, calcolare il fattore di qualità $Q$ e la banda passante.

Passo 1 — fattore di qualità (serie):

\begin{aligned} Q &=\dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}\\ &=\dfrac{1}{10}\sqrt{\dfrac{1{,}0\times10^{-3}}{100\times10^{-9}}}\\ &=\dfrac{1}{10}\sqrt{10^{4}}\\ &=\dfrac{100}{10}\\ &=10. \end{aligned}

Passo 2 — banda passante (tra i punti a $-3\ \text{dB}$ ):

\begin{aligned} B &=\dfrac{f_0}{Q}\\ &=\dfrac{15{,}9\times10^{3}}{10}\\ &=1{,}59\times10^{3}\ \text{Hz}\\ &\approx1{,}59\ \text{kHz}. \end{aligned}

Un $Q$ alto significa banda stretta e selettività elevata: è quello che serve in un sintonizzatore. Un $Q$ basso allarga la banda e rende il picco di risonanza più smussato.

9. Corrente alla risonanza serie

Esercizio. Il circuito serie del punto 7 è alimentato a $V=5{,}0\ \text{V}$ efficaci alla frequenza $f_0$ . Calcolare la corrente.

Alla risonanza serie l’impedenza è la sola $R$ (reattanze annullate):

$I=\dfrac{V}{R}=\dfrac{5{,}0}{10}=0{,}50\ \text{A}.$

È la corrente massima possibile: spostandosi dalla risonanza l’impedenza cresce e la corrente cala. Nella risonanza serie il circuito si comporta come un corto reattivo.

10. Frequenze di mezza potenza

Esercizio. Per il circuito del punto 8, con $f_0=15{,}9\ \text{kHz}$ e banda $B=1{,}59\ \text{kHz}$ , stimare le frequenze di taglio inferiore e superiore.

Per un circuito a $Q$ abbastanza alto, le frequenze di mezza potenza sono circa simmetriche intorno a $f_0$ :

f_1\approx f_0-\dfrac{B}{2}=15{,}9-0{,}795=15{,}1\ \text{kHz},

f_2\approx f_0+\dfrac{B}{2}=15{,}9+0{,}795=16{,}7\ \text{kHz}.

La banda passante è $f_2-f_1\approx1{,}59\ \text{kHz}$ . Nei calcoli esatti le frequenze non sono perfettamente simmetriche in scala lineare, ma l’approssimazione è molto utile per $Q$ elevati.

11. Risonanza parallelo ideale

Esercizio. Un circuito parallelo ideale ha $L=1{,}0\ \text{mH}$ e $C=100\ \text{nF}$ . Calcolare la frequenza di risonanza e descrivere l’impedenza alla risonanza.

La frequenza è la stessa forma della serie:

f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=15{,}9\ \text{kHz}.

Nel parallelo ideale, alla risonanza le correnti reattive di $L$ e $C$ si compensano viste dall’esterno: l’ammettenza reattiva netta è nulla e l’impedenza è massima. Nel caso ideale senza perdite tende all’infinito.

Questo è il duale della risonanza serie: serie = impedenza minima; parallelo = impedenza massima.

12. Filtro notch concettuale

Esercizio. Come si può usare una risonanza per attenuare una frequenza indesiderata, ad esempio un disturbo a $50\ \text{Hz}$ ?

Un filtro notch crea un minimo di trasferimento alla frequenza da eliminare. La condizione di progetto è:

f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=50\ \text{Hz}.

Se si sceglie $C=10\ \mu\text{F}$ :

L=\dfrac{1}{(2\pi f_0)^2C} =\dfrac{1}{(314)^2\times10\times10^{-6}} =1{,}01\ \text{H}.

Il valore di induttanza è alto: per frequenze basse i notch passivi LC diventano ingombranti. In pratica si usano spesso filtri attivi o digitali.

Errori comuni

Scambiare la formula di taglio RC e RL. Per l’RC è $f_t=1/(2\pi RC)$ , per l’RL è $f_t=R/(2\pi L)$ : derivano entrambe dalla condizione reattanza = resistenza.
Confondere il tipo di filtro con il componente. Non è il componente a definire passa-basso/passa-alto, ma da dove si preleva l’uscita: sullo stesso RC, uscita su C dà passa-basso, su R dà passa-alto.
Usare $f$ al posto di $\omega$ (o viceversa). Tenere il fattore $2\pi$ coerente: $\omega_0=1/\sqrt{LC}$ è in rad/s, $f_0=\omega_0/2\pi$ in Hz.
Pensare la risonanza serie con impedenza massima. Nella serie l’impedenza è minima (corrente massima) alla risonanza; è la risonanza parallelo ad avere impedenza massima e corrente minima.
Confondere banda e frequenza centrale. $B=f_2-f_1$ misura l’ampiezza della banda, non la posizione della risonanza.
Progettare notch passivi senza controllare i valori. A basse frequenze possono servire induttanze grandi e poco pratiche.