Il gas ideale è un modello termodinamico in cui le particelle sono trattate come puntiformi, il loro volume proprio è trascurabile rispetto al volume del recipiente e le interazioni intermolecolari sono assenti, salvo urti elastici. È un modello limite: non descrive ogni gas reale, ma fornisce una relazione semplice e potente tra pressione, volume, quantità di sostanza e temperatura.
La legge fondamentale è l’equazione di stato:
dove p è la pressione, V il volume, n la quantità di sostanza in moli, T la temperatura assoluta in kelvin e R la costante universale dei gas. In unità SI:
La stessa equazione si può scrivere anche in forma microscopica:
dove N è il numero di particelle e k_B è la costante di Boltzmann. Le due forme sono equivalenti perché:
con N_A costante di Avogadro.
Ipotesi fisiche del modello
Il modello di gas ideale si basa su quattro ipotesi operative:
| Ipotesi | Significato |
|---|---|
| particelle puntiformi | il volume molecolare è trascurabile rispetto a V |
| assenza di interazioni | non ci sono attrazioni o repulsioni a distanza |
| urti elastici | gli urti conservano energia cinetica complessiva |
| equilibrio termodinamico | pressione e temperatura sono definite come grandezze macroscopiche |
Queste ipotesi rendono il gas descrivibile con poche variabili di stato. Non significano che le molecole siano realmente senza dimensione o senza forze: significano che, nelle condizioni considerate, tali effetti sono piccoli rispetto alla scala macroscopica del problema.
La qualità dell’approssimazione migliora a bassa pressione, alta temperatura e lontano dalla condensazione. Peggiora quando il gas è denso, quando la temperatura si avvicina alla liquefazione o quando le forze intermolecolari diventano importanti.
Forme dell’equazione di stato
La forma più usata negli esercizi è:
Dividendo per il numero di moli si ottiene la forma molare:
dove v_m è il volume molare. Dividendo per il volume si ottiene una forma utile per la densità:
dove \rho è la densità e R_s è la costante specifica del gas:
con M massa molare. In modo equivalente:
Questa forma è molto utile in aerodinamica, fluidodinamica comprimibile, termodinamica applicata e calcoli di laboratorio: collega pressione e temperatura alla densità del gas.
Legge combinata e leggi storiche
Per trasformazioni con quantità di gas costante:
Da questa relazione discendono le leggi storiche:
| Condizione | Legge | Conseguenza |
|---|---|---|
| T costante | Boyle-Mariotte | pV=\text{costante} |
| p costante | Charles | V/T=\text{costante} |
| V costante | Gay-Lussac | p/T=\text{costante} |
| p,T costanti | Avogadro | V/n=\text{costante} |
Queste leggi non sono regole separate da memorizzare senza contesto: sono proiezioni dell’unica equazione pV=nRT quando una o più variabili restano fissate.
Interpretazione microscopica
La teoria cinetica dei gas collega la pressione agli urti molecolari contro le pareti. Per un gas ideale di N molecole, ciascuna di massa m_0, in un volume V:
La temperatura misura l’energia cinetica media traslazionale. Per una particella monoatomica:
Questa relazione spiega perché la pressione aumenta se si comprime il gas o se si aumenta la temperatura: aumentano rispettivamente il numero di urti per unità di volume e l’energia media degli urti.
Energia interna, entalpia e calori specifici
Per un gas ideale l’energia interna dipende solo dalla temperatura, non dal volume o dalla pressione presi separatamente. Se il gas ha f gradi di libertà attivi, l’equipartizione dell’energia dà:
Per un gas monoatomico ideale, f=3, quindi:
L’entalpia è:
Per gas ideale, poiché pV=nRT, anche l’entalpia dipende solo dalla temperatura. I calori specifici molari a volume e pressione costante soddisfano la relazione di Mayer:
Per gas monoatomico ideale:
Nei gas biatomici e poliatomici i gradi di libertà rotazionali e vibrazionali cambiano i calori specifici, soprattutto al variare della temperatura.
Trasformazioni tipiche
Nelle trasformazioni termodinamiche del gas ideale è essenziale specificare quale grandezza resta costante:
| Trasformazione | Condizione | Relazione caratteristica |
|---|---|---|
| isoterma | T costante | pV=\text{costante} |
| isobara | p costante | V/T=\text{costante} |
| isocora | V costante | p/T=\text{costante} |
| adiabatica reversibile | Q=0 e reversibile | pV^\gamma=\text{costante} |
Per una trasformazione isoterma reversibile di un gas ideale:
assumendo positivo il lavoro fatto dal gas. Poiché la temperatura non cambia:
Per una trasformazione adiabatica reversibile:
Queste relazioni valgono solo se la trasformazione è anche reversibile. Un’espansione libera adiabatica, per esempio, ha Q=0 ma non soddisfa in generale pV^\gamma=\text{costante}.
Miscele e pressioni parziali
Per una miscela ideale di gas, ogni componente contribuisce alla pressione totale come se occupasse da solo lo stesso volume alla stessa temperatura. La pressione parziale del componente i è:
dove x_i è la frazione molare. La somma delle pressioni parziali dà:
Questa approssimazione è molto usata in chimica generale, aria atmosferica, combustione, miscele respiratorie e calcoli di laboratorio. Come sempre, perde accuratezza quando la miscela è densa o quando le interazioni tra specie diventano non trascurabili.
Quando il modello non basta
I gas reali deviano dal comportamento ideale perché le molecole hanno volume finito e interagiscono. Una misura sintetica della deviazione è il fattore di comprimibilità:
Per gas ideale:
Se Z\ne1, il gas non segue esattamente pV=nRT. In generale, valori Z\lt1 indicano prevalenza di attrazioni intermolecolari, mentre valori Z\gt1 indicano effetti di volume escluso e repulsioni più importanti. Modelli come l’equazione viriale o van der Waals introducono correzioni per descrivere questi scostamenti.
Errori comuni
Un primo errore è usare gradi Celsius al posto dei kelvin. Nell’equazione del gas ideale la temperatura deve essere assoluta: T=0 non è 0^\circ\mathrm{C}.
Un secondo errore è mescolare unità incompatibili. Se si usa R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}, allora pressione in pascal e volume in metri cubi sono coerenti; se si usano litri e atmosfere serve un valore diverso di R.
Un terzo errore è applicare il modello vicino alla condensazione o ad alta pressione senza controllare le deviazioni reali. In quelle condizioni Z può discostarsi sensibilmente da 1.
Infine, non bisogna confondere il gas ideale con un gas “semplice” in ogni processo. Anche se l’equazione di stato è semplice, trasformazioni, calori specifici, reversibilità e scambi di calore richiedono ipotesi esplicite.