Due matrici quadrate A e B sono simili se esiste una matrice inversa P^{-1}, cioè se P è invertibile, tale che
La similitudine esprime un cambio di base: A e B rappresentano lo stesso endomorfismo lineare, ma scritto in sistemi di coordinate diversi. Per questo molte proprietà fondamentali non cambiano.
Interpretazione come cambio di base
Sia T:V\to V un’applicazione lineare. Se A è la matrice di T in una base \mathcal{B} e B è la matrice della stessa applicazione in una base \mathcal{C}, allora le due matrici sono simili. La matrice P contiene le coordinate dei vettori della nuova base rispetto alla vecchia.
La trasformazione
non cambia l’operatore geometrico: cambia soltanto la descrizione numerica delle sue coordinate. Questo è il motivo per cui la similitudine è centrale in algebra lineare, sistemi dinamici, meccanica delle vibrazioni e teoria dei controlli.
Invarianti di similitudine
Matrici simili condividono gli invarianti fondamentali:
- determinante;
- traccia;
- rango;
- polinomio caratteristico;
- autovalori con molteplicità algebrica;
- dimensioni degli autospazi.
Per esempio, il polinomio caratteristico resta invariato perché
La cancellazione avviene perché \det(P^{-1})\det(P)=1.
Diagonalizzazione
La diagonalizzazione è un caso particolarmente importante di similitudine. Una matrice A è diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale D:
In modo equivalente:
Le colonne di P sono autovettori linearmente indipendenti di A, mentre gli elementi diagonali di D sono i corrispondenti autovalori. In questa base, l’operatore agisce semplicemente moltiplicando ogni coordinata per un fattore scalare.
Esempio
La matrice
ha autovalori 2 e 3 distinti, quindi è diagonalizzabile. Scegliendo come colonne di P due autovettori indipendenti, si ottiene una matrice diagonale simile ad A:
La matrice A e la matrice D non sono uguali, ma rappresentano lo stesso operatore in basi diverse.
Cosa non implica la similitudine
La similitudine non significa che le matrici abbiano gli stessi elementi, la stessa simmetria o la stessa norma. Proprietà come essere simmetrica, ortogonale o triangolare non sono invarianti per una similitudine arbitraria.
Invece, se P è una matrice ortogonale, si parla di similitudine ortogonale:
Questa trasformazione conserva anche proprietà metriche più forti ed è particolarmente importante per matrici simmetriche reali.
Errori comuni
Il primo errore è confondere matrici simili con matrici equivalenti tramite operazioni elementari di riga: sono concetti diversi. Il secondo è pensare che condividere gli autovalori basti sempre per essere simili; non basta, perché conta anche la struttura degli autospazi e delle molteplicità. Il terzo è dimenticare che P deve essere invertibile: senza invertibilità non c’è cambio di base.
Per esercizi collegati a basi, dimensione e coordinate si vedano gli esercizi su spazi vettoriali se presenti nel percorso di studio, e per autovalori e sistemi lineari gli esercizi su sistemi lineari ed EDO.