Traccia — ingegnerismo.it

La traccia di una matrice quadrata $A\in K^{n\times n}$ è la somma degli elementi sulla diagonale principale:

\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}.

È una quantità scalare semplice ma ricca di significato: collega rappresentazione matriciale, autovalori, prodotti interni tra matrici, divergenza di campi lineari e invarianti dei sistemi dinamici.

Linearità

La traccia è lineare:

\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B),

\operatorname{tr}(\alpha A)=\alpha\operatorname{tr}(A).

Questa proprietà la rende comoda in calcolo matriciale, ottimizzazione e statistica multivariata. Per esempio, molte funzioni quadratiche possono essere riscritte in forma compatta usando la traccia.

Ciclicità

La proprietà fondamentale è la ciclicità:

\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA),

quando i prodotti sono definiti. Più in generale:

\operatorname{tr}(ABC)=\operatorname{tr}(BCA)=\operatorname{tr}(CAB),

ma non si può permutare l’ordine arbitrariamente: la traccia è ciclica, non commutativa. In generale $\operatorname{tr}(ABC)$ non coincide con $\operatorname{tr}(ACB)$ .

Invarianza per similitudine

Dalla ciclicità segue che la traccia è invariante per similitudine:

\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(A).

Infatti:

\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(APP^{-1}) = \operatorname{tr}(A).

Questo significa che la traccia non dipende dalla base scelta per rappresentare l’applicazione lineare. È quindi un invariante dell’operatore, non solo della tabella numerica.

Relazione con gli autovalori

Per una matrice diagonalizzabile, la traccia è la somma degli autovalori contati con molteplicità:

\operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\cdots+\lambda_n.

La relazione vale in realtà più in generale, anche per matrici non diagonalizzabili, considerando gli autovalori nel campo complesso con molteplicità algebrica. Si può vedere dal polinomio caratteristico: il coefficiente del termine di grado $n-1$ è legato alla somma degli autovalori e alla traccia.

Prodotto interno di Frobenius

Per matrici reali della stessa dimensione, la traccia permette di definire il prodotto interno di Frobenius:

\langle A,B\rangle_F = \operatorname{tr}(A^\mathsf T B).

La norma associata è:

\|A\|_F = \sqrt{\operatorname{tr}(A^\mathsf T A)}.

Queste formule compaiono in minimi quadrati matriciali, ottimizzazione numerica, machine learning e approssimazione di matrici.

Calcolo differenziale matriciale

La traccia è molto usata per riscrivere espressioni scalari. Per vettori $x$ e matrice $A$ :

x^\mathsf T A x = \operatorname{tr}(x^\mathsf T A x) = \operatorname{tr}(Axx^\mathsf T).

Questa identità è utile per derivare gradienti rispetto a matrici e per manipolare forme quadratiche. In statistica multivariata, molte log-verosimiglianze gaussiane contengono termini come:

\operatorname{tr}(\Sigma^{-1}S),

dove $\Sigma$ è una matrice di covarianza e $S$ una matrice empirica.

Interpretazione nei sistemi lineari

In un sistema dinamico lineare continuo:

\dot x=Ax,

la traccia è la somma degli autovalori della matrice di stato. In dimensione due, insieme al determinante, aiuta a classificare il comportamento locale: attrazione, repulsione, sella, spirali e centri dipendono dalla posizione degli autovalori.

In campo vettoriale lineare $F(x)=Ax$ , la divergenza è:

\nabla\cdot F=\operatorname{tr}(A).

La traccia misura quindi l’espansione o contrazione infinitesima di volume prodotta dal campo lineare.

Errori comuni

Il primo errore è calcolare la traccia di matrici non quadrate: la definizione standard richiede matrici quadrate. Il secondo è usare la ciclicità come se autorizzasse qualunque riordinamento dei fattori. Il terzo è pensare che traccia uguale implichi matrici simili: matrici simili hanno la stessa traccia, ma la stessa traccia non basta a garantire similitudine.

La traccia è un invariante elementare, non una descrizione completa della matrice. Il suo valore è spesso informativo, ma va letto insieme ad altri invarianti come determinante, rango, spettro e forma canonica.