La matrice inversa di una matrice quadrata A è la matrice, indicata con A^{-1}, che annulla l’effetto di A rispetto al prodotto matriciale. Formalmente, A è invertibile se esiste una matrice A^{-1} tale che
La matrice I è l’identità: moltiplicare per I lascia invariati vettori e matrici compatibili. L’inversa, quindi, svolge per le matrici il ruolo che il reciproco svolge per i numeri non nulli.
Condizioni equivalenti di invertibilità
Per una matrice quadrata n\times n, le seguenti condizioni sono equivalenti:
- \det(A)\ne 0;
- \operatorname{rank}(A)=n;
- il sistema omogeneo Ax=0 ha solo la soluzione nulla;
- le colonne di A sono linearmente indipendenti;
- l’applicazione lineare associata ad A è biiettiva;
- per ogni vettore b il sistema Ax=b ha una e una sola soluzione.
La condizione più compatta è:
Se il determinante è nullo, la trasformazione schiaccia lo spazio in una dimensione inferiore: alcune informazioni vengono perse e non esiste una trasformazione inversa che le recuperi.
Formula e interpretazione
La formula con l’aggiunta è:
utile in teoria e per matrici piccole, ma inefficiente per dimensioni grandi. Per una matrice 2\times2:
con ad-bc\ne0.
Dal punto di vista geometrico, una matrice invertibile rappresenta una trasformazione lineare che non collassa volumi, aree o direzioni essenziali. In \mathbb R^2, per esempio, una matrice invertibile può ruotare, scalare, inclinare o riflettere il piano, ma non può schiacciarlo su una retta.
Uso nei sistemi lineari e nel calcolo numerico
Se A è invertibile, il sistema lineare
ha soluzione formale:
Nei calcoli numerici, però, non si calcola quasi mai esplicitamente l’inversa solo per risolvere un sistema: si usano eliminazione di Gauss, fattorizzazione LU, Cholesky o QR. Calcolare l’inversa può essere più costoso e amplificare errori di arrotondamento, specialmente quando la matrice è mal condizionata.
Un errore frequente è trattare l’inversa come una divisione matriciale ordinaria. Il prodotto tra matrici non è commutativo: in generale AB\ne BA, quindi anche la posizione dell’inversa nelle manipolazioni algebriche è essenziale.
Vedi anche: Matrice, Determinante, Rango, Sistema lineare.