Matrice ortogonale — ingegnerismo.it

Una matrice reale quadrata $Q$ è ortogonale se la sua trasposta coincide con la sua inversa. La condizione algebrica fondamentale è

Q^TQ=I.

Poiché $Q$ è quadrata, questa condizione implica anche

QQ^T=I,

e quindi

Q^{-1}=Q^T.

Questa proprietà rende le matrici ortogonali centrali in algebra lineare numerica, geometria euclidea, decomposizioni matriciali e cambi di coordinate stabili.

Colonne e righe ortonormali

La condizione $Q^TQ=I$ significa che le colonne di $Q$ formano una base ortonormale. Se $q_1,\dots,q_n$ sono le colonne, allora

q_i^Tq_j= \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i\ne j. \end{cases}

Equivalentemente, anche le righe sono ortonormali. Il collegamento con il prodotto scalare è diretto: le colonne hanno norma unitaria e sono mutuamente ortogonali.

Conservazione di prodotti scalari e norme

Per ogni $u,v\in\mathbb{R}^n$ vale

\langle Qu,Qv\rangle = (Qu)^T(Qv) = u^TQ^TQv = u^Tv = \langle u,v\rangle.

Quindi $Q$ conserva prodotto scalare, norma euclidea e angoli:

\|Qu\|_2=\|u\|_2.

Geometricamente, una matrice ortogonale rappresenta un’isometria lineare: può ruotare o riflettere lo spazio, ma non deforma lunghezze, angoli e volumi in valore assoluto.

Determinante

Dal fatto che $Q^TQ=I$ segue

\det(Q^TQ)=\det(I)=1.

Poiché $\det(Q^T)=\det(Q)$ , si ottiene

(\det Q)^2=1,

quindi

\det Q=\pm1.

Il caso $\det Q=+1$ descrive rotazioni proprie. Il caso $\det Q=-1$ include riflessioni o composizioni di rotazioni e riflessioni.

Esempio in due dimensioni

La matrice

R_\theta= \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}

è ortogonale e rappresenta una rotazione di angolo $\theta$ . Infatti

R_\theta^TR_\theta=I, \qquad \det R_\theta=1.

La matrice

H= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}

è invece una riflessione rispetto all’asse $x$ e ha determinante $-1$ .

Uso numerico

Le matrici ortogonali sono molto importanti perché non amplificano l’errore in norma euclidea. Per questo compaiono in algoritmi numericamente stabili come Gram-Schmidt, la fattorizzazione QR e la scomposizione ai valori singolari.

Quando si risolve un problema numerico, moltiplicare per una matrice ortogonale è in genere molto più sicuro che moltiplicare per una matrice mal condizionata: non altera la scala delle perturbazioni.

Matrici ortogonali e similitudine

Se $Q$ è ortogonale, una trasformazione del tipo

B=Q^TAQ

è una similitudine ortogonale. Rispetto a una similitudine generica, conserva anche la struttura metrica della base. Questo è essenziale nel teorema spettrale per matrici simmetriche reali, dove una matrice simmetrica può essere diagonalizzata tramite una matrice ortogonale.

Errori comuni

Il primo errore è confondere matrice ortogonale con matrice i cui elementi sono ortogonali: l’ortogonalità riguarda righe e colonne come vettori, non i singoli numeri. Il secondo è pensare che ogni matrice invertibile sia ortogonale; in realtà serve la condizione più forte $Q^{-1}=Q^T$ . Il terzo è dimenticare che il termine “ortogonale” qui vale per matrici reali: nel caso complesso l’analogo naturale è la matrice unitaria.

Per esercizi collegati si veda prodotto scalare e ortogonalizzazione.