Autospazio — ingegnerismo.it

Dato un autovalore $\lambda$ di una matrice quadrata $A$ , il suo autospazio è l’insieme di tutti gli autovettori associati a $\lambda$ , insieme al vettore nullo. In forma algebrica si scrive

E_\lambda=\ker(A-\lambda I).

Qui $I$ è la matrice identità e $\ker(A-\lambda I)$ è il nucleo di un’applicazione lineare. L’autospazio è quindi l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo

(A-\lambda I)x=0.

Ogni vettore non nullo $x\in E_\lambda$ soddisfa

Ax=\lambda x,

cioè viene trasformato da $A$ solo tramite una dilatazione, una contrazione o un cambio di verso, senza cambiare direzione.

Perché è un sottospazio

L’autospazio contiene sempre il vettore nullo, anche se il vettore nullo non viene chiamato autovettore. Inoltre è chiuso rispetto a combinazioni lineari: se $u,v\in E_\lambda$ e $\alpha,\beta$ sono scalari, allora

(A-\lambda I)(\alpha u+\beta v) = \alpha(A-\lambda I)u+\beta(A-\lambda I)v =0.

Dunque $\alpha u+\beta v\in E_\lambda$ . Questa proprietà permette di studiare l’autospazio con gli strumenti ordinari dell’algebra lineare: basi, dimensione, rango e sistemi lineari.

Molteplicità geometrica

La dimensione dell’autospazio è la molteplicità geometrica dell’autovalore:

g_\lambda=\dim E_\lambda.

Essa indica quante direzioni linearmente indipendenti sono associate a $\lambda$ . Va distinta dalla molteplicità algebrica, cioè il numero di volte con cui $\lambda$ compare come radice del polinomio caratteristico.

Per ogni autovalore vale

1\le g_\lambda\le m_\lambda,

dove $m_\lambda$ è la molteplicità algebrica. Se la molteplicità geometrica è minore di quella algebrica, l’autovalore non fornisce abbastanza autovettori indipendenti per una diagonalizzazione completa.

Diagonalizzabilità

Una matrice $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ o $A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ è diagonalizzabile se esiste una base dello spazio formata da autovettori. Equivalentemente, la somma delle dimensioni degli autospazi deve essere uguale a $n$ :

\sum_{\lambda}\dim E_\lambda=n.

In tal caso si può scrivere

A=PDP^{-1},

dove le colonne di $P$ sono autovettori e $D$ è diagonale. La voce diagonalizzazione approfondisce questo collegamento.

Esempio

Per la matrice

A= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix},

l’autospazio relativo a $\lambda=2$ è

E_2=\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \right\},

mentre quello relativo a $\lambda=3$ è

E_3=\operatorname{span}\left\{ \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \right\}.

La matrice agisce quindi dilatando in modo diverso due direzioni indipendenti.

Interpretazione e applicazioni

Gli autospazi descrivono direzioni invarianti di una trasformazione lineare. In dinamica lineare identificano modi propri; in meccanica delle vibrazioni descrivono forme modali; in statistica e machine learning compaiono nell’analisi di matrici di covarianza; nei sistemi differenziali lineari determinano la struttura delle soluzioni.

Dal punto di vista computazionale, trovare un autospazio significa risolvere un sistema lineare omogeneo. Occorre quindi distinguere il calcolo degli autovalori dal calcolo delle basi degli autospazi: conoscere $\lambda$ non basta, bisogna ancora risolvere $(A-\lambda I)x=0$ .

Errori comuni

Il primo errore è dimenticare il vettore nullo nell’autospazio: non è un autovettore, ma appartiene al sottospazio. Il secondo è confondere molteplicità geometrica e algebrica. Il terzo è supporre che autovettori relativi allo stesso autovalore siano automaticamente indipendenti: l’indipendenza va verificata scegliendo una base dell’autospazio, come negli esercizi sugli spazi vettoriali.