Nucleo di un’applicazione lineare

Il nucleo di un’applicazione lineare raccoglie tutti i vettori che la trasformazione manda nel vettore nullo. È quindi l’insieme delle direzioni che vengono “perse” o annullate dalla trasformazione.

Il nucleo è uno degli oggetti fondamentali dell’algebra lineare: descrive iniettività, soluzioni di sistemi omogenei, rango, nullità e gradi di libertà residui.

Definizione

Per un’applicazione lineare $L:V\to W$ , il nucleo è

\ker L=\{v\in V:\ L(v)=0\}.

È sempre un sottospazio di $V$ . Infatti contiene il vettore nullo e, se $u,v\in\ker L$ , allora per ogni scalare $\alpha,\beta$ :

L(\alpha u+\beta v) = \alpha L(u)+\beta L(v) =0.

Quindi $\alpha u+\beta v$ appartiene ancora al nucleo.

Caso matriciale

Per una matrice $A$ , il nucleo coincide con l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo:

\ker A=\{x:\ Ax=0\}.

Se $A$ rappresenta una trasformazione da $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$ , il nucleo è un sottospazio di $\mathbb{R}^n$ . La sua dimensione indica quante direzioni indipendenti vengono collassate a zero.

Iniettività

Un’applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è banale:

\ker L=\{0\}.

Infatti, se $L(u)=L(v)$ , allora

L(u-v)=0.

Se il nucleo contiene solo il vettore nullo, segue $u-v=0$ , quindi $u=v$ . Se invece esiste un vettore non nullo nel nucleo, allora $0$ e quel vettore hanno la stessa immagine: l’applicazione non è iniettiva.

Rango e nullità

Il teorema rango-nullità afferma che, per $L:V\to W$ con $V$ di dimensione finita,

\dim V = \dim(\ker L)+\dim(\operatorname{Im}L).

La dimensione del nucleo è detta nullità, mentre la dimensione dell’immagine è il rango. La formula dice che le dimensioni del dominio si distribuiscono tra ciò che viene annullato e ciò che rimane visibile nell’immagine.

Esempio

Sia

A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Il sistema $Ax=0$ è

\begin{cases} x_1+2x_2=0,\\ x_3=0. \end{cases}

Ponendo $x_2=t$ , si ottiene

x=(-2t,t,0)=t(-2,1,0).

Quindi

\ker A=\operatorname{span}\{(-2,1,0)\}.

La nullità è $1$ : una direzione indipendente viene annullata dalla trasformazione.

Interpretazione geometrica

Se una trasformazione proietta lo spazio su un piano, il nucleo è la direzione perpendicolare al piano che viene schiacciata a zero. Se una matrice ha nucleo non banale, più vettori distinti del dominio finiscono nello stesso punto dell’immagine.

In problemi ingegneristici, il nucleo può rappresentare gradi di libertà non osservabili, modi non eccitati, vincoli ridondanti, soluzioni omogenee o configurazioni che non producono uscita misurabile.

Errori comuni

confondere il nucleo con l’immagine: il nucleo sta nel dominio, l’immagine nel codominio;
dimenticare che il nucleo di una trasformazione lineare è sempre un sottospazio;
pensare che $\ker A=\{0\}$ implichi automaticamente invertibilità anche per matrici non quadrate;
risolvere $Ax=b$ invece di $Ax=0$ quando si cerca il nucleo;
contare i parametri liberi senza verificare l’indipendenza dei vettori ottenuti.

Vedi anche: Applicazione lineare, Immagine di un’applicazione lineare, Base di uno spazio vettoriale, Formulario di Geometria e Algebra Lineare.