Immagine di un’applicazione lineare

L’immagine di un’applicazione lineare $L:V\to W$ è l’insieme dei vettori dello spazio di arrivo che si possono ottenere applicando $L$ a qualche vettore dello spazio di partenza:

\operatorname{im}L=\{L(v):v\in V\}.

È un sottospazio di $W$ e descrive la parte effettivamente raggiungibile dello spazio di arrivo.

Perché è un sottospazio

L’immagine contiene il vettore nullo perché

L(0)=0.

Se $w_1,w_2\in\operatorname{im}L$ , allora esistono $v_1,v_2\in V$ tali che

w_1=L(v_1), \qquad w_2=L(v_2).

Per ogni coppia di scalari $\alpha,\beta$ :

\alpha w_1+\beta w_2 = \alpha L(v_1)+\beta L(v_2) = L(\alpha v_1+\beta v_2).

Quindi $\alpha w_1+\beta w_2$ appartiene ancora all’immagine. Questo prova che $\operatorname{im}L$ è un sottospazio.

Caso matriciale

Se $L$ è rappresentata da una matrice $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ , allora

L(x)=Ax.

Scrivendo $A$ per colonne,

A= \begin{pmatrix} | & | & & |\\ a_1 & a_2 & \cdots & a_n\\ | & | & & | \end{pmatrix},

si ha

Ax=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n.

L’immagine di $A$ è quindi lo spazio generato dalle colonne:

\operatorname{im}A= \operatorname{span}\{a_1,\dots,a_n\}.

Rango

La dimensione dell’immagine è il rango dell’applicazione:

\operatorname{rank}L=\dim(\operatorname{im}L).

Nel caso matriciale, il rango è il numero massimo di colonne linearmente indipendenti. Misura quante direzioni indipendenti dello spazio di arrivo sono effettivamente raggiungibili.

Il rango è collegato al nucleo dell’applicazione lineare dal teorema rango-nullità:

\dim V = \dim(\ker L)+\dim(\operatorname{im}L).

Suriettività e compatibilità

Un’applicazione lineare $L:V\to W$ è suriettiva se

\operatorname{im}L=W.

In termini matriciali, un sistema lineare

Ax=b

è compatibile se e solo se

b\in\operatorname{im}A.

Questo significa che il termine noto deve appartenere allo spazio generato dalle colonne della matrice. Se $b$ è fuori da tale spazio, non esiste alcun vettore $x$ che soddisfi il sistema.

Interpretazione geometrica

L’immagine descrive la geometria della trasformazione. Una matrice $3\times 2$ può trasformare il piano in un sottospazio di $\mathbb{R}^3$ : se le due colonne sono indipendenti, l’immagine è un piano passante per l’origine; se sono dipendenti, è una retta; se sono nulle, è solo il vettore nullo.

In applicazioni, l’immagine rappresenta lo spazio delle uscite ottenibili. Nei sistemi lineari, nei modelli di regressione e nei problemi di controllo, sapere quali vettori sono nell’immagine significa sapere quali stati, dati o risposte possono essere generati dal modello.

Errori comuni

Il primo errore è confondere immagine e codominio: il codominio è lo spazio dichiarato di arrivo, l’immagine è solo la parte effettivamente raggiunta. Il secondo è confondere immagine e nucleo: l’immagine vive nello spazio di arrivo, il nucleo nello spazio di partenza. Il terzo è calcolare il rango contando colonne non nulle invece di colonne indipendenti.

Per esercizi collegati si vedano spazi vettoriali, basi e dimensione e sistemi lineari e teorema di Rouché-Capelli.