Un’orbita circolare è il caso particolare di orbita kepleriana con eccentricità nulla. La distanza r dal centro del corpo attrattore resta costante, la velocità è tangenziale e il moto ha modulo costante nel modello ideale dei due corpi.
Fisicamente, il satellite non è “senza gravità”: è in caduta continua. La forza gravitazionale fornisce esattamente l’accelerazione centripeta necessaria a curvare la traiettoria.
Condizione dinamica
Se il corpo centrale ha massa M e il satellite ha massa m, la forza gravitazionale newtoniana è:
Per il moto circolare uniforme, la forza centripeta richiesta è:
Imponendo F_g=F_c:
La massa del satellite si semplifica. Introducendo il parametro gravitazionale:
si ottiene la velocità circolare:
La formula usa il raggio orbitale misurato dal centro del corpo attrattore, non l’altitudine sopra la superficie.
Grandezze principali
| Grandezza | Formula | Significato |
|---|---|---|
| Velocità circolare | \displaystyle v_c=\sqrt{\dfrac{\mu}{r}} | velocità tangenziale necessaria a raggio costante |
| Accelerazione centripeta | \displaystyle a_c=\dfrac{v_c^2}{r}=\dfrac{\mu}{r^2} | accelerazione diretta verso il centro |
| Velocità angolare | \displaystyle \omega=\sqrt{\dfrac{\mu}{r^3}} | angolo percorso nell’unità di tempo |
| Periodo orbitale | \displaystyle T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{\mu}} | tempo per completare un giro |
| Momento angolare specifico | \displaystyle h=rv_c=\sqrt{\mu r} | momento angolare per unità di massa |
Il periodo orbitale segue anche dalla lunghezza della circonferenza:
Questa relazione è la forma circolare della terza legge di Keplero: orbite più lontane hanno periodi più lunghi.
Energia dell’orbita circolare
L’energia meccanica specifica, cioè per unità di massa del satellite, è:
Sostituendo v_c^2=\mu/r:
Per un satellite di massa m:
Il segno negativo indica un’orbita legata: il satellite non ha energia sufficiente per allontanarsi indefinitamente dal corpo centrale. Alla stessa distanza r, la velocità di fuga è:
Quindi la velocità circolare non è la velocità di fuga: è la velocità necessaria per restare su una traiettoria chiusa circolare.
Esempio: orbita bassa terrestre
Per un satellite a circa 400\ \mathrm{km} di quota attorno alla Terra, il raggio orbitale non è 400\ \mathrm{km}, ma:
Usando il parametro gravitazionale terrestre, si ottiene una velocità circolare di circa:
Il periodo è dell’ordine di:
Questi valori sono coerenti con le orbite basse terrestri: velocità molto elevate e rivoluzioni complete in circa un’ora e mezza.
Relazione con orbite ellittiche
L’orbita circolare è il caso e=0 di un’orbita ellittica. Nella formula di vis-viva:
il semiasse maggiore a coincide con r e si recupera:
Se, alla stessa distanza r, la velocità tangenziale è minore di v_c, il corpo entra in un’orbita ellittica più bassa o può intersecare il corpo centrale. Se è maggiore di v_c ma minore della velocità di fuga, entra in un’orbita ellittica con punto corrente vicino al pericentro. Se raggiunge o supera la velocità di fuga, la traiettoria diventa non legata.
Condizioni di validità
Le formule valgono nel problema ideale dei due corpi: corpo centrale sferico, satellite di massa trascurabile, assenza di atmosfera, assenza di terzi corpi, nessuna pressione di radiazione e nessuna manovra. Le orbite reali includono perturbazioni: schiacciamento del pianeta, resistenza atmosferica in orbita bassa, attrazione lunisolare, irregolarità del campo gravitazionale e correzioni propulsive.
Questo non rende inutili le formule circolari: le rende formule di riferimento. Servono per stimare ordini di grandezza, impostare trasferimenti, confrontare quote e controllare risultati numerici più complessi.
Errori comuni
Un primo errore è usare la quota h al posto del raggio r. Per un satellite attorno alla Terra bisogna usare r=R_T+h.
Un secondo errore è pensare che un satellite in orbita non subisca gravità. In realtà subisce quasi tutta la gravità del corpo centrale; semplicemente ha velocità tangenziale sufficiente per cadere attorno al pianeta.
Un terzo errore è applicare la formula circolare a un’orbita ellittica usando la distanza istantanea. Per le ellissi serve il semiasse maggiore nella formula del periodo e la formula di vis-viva per la velocità.
Un quarto errore è confondere velocità orbitale e delta-v di lancio. Raggiungere un’orbita reale richiede anche superare perdite gravitazionali, aerodinamiche e vincoli di traiettoria.
Vedi anche: orbita, astrodinamica, velocità orbitale, periodo orbitale, velocità di fuga, gravitazione universale, leggi di Keplero ed esercizi su gravitazione e Keplero.