Gravitazione universale — ingegnerismo.it

La gravitazione universale newtoniana descrive l’attrazione tra due masse puntiformi o sfericamente simmetriche:

\mathbf{F}_{12}=-G\frac{m_1m_2}{r^2}\hat{r}_{12}

dove $G$ è la costante di gravitazione universale, $r$ la distanza tra le masse e $\hat{r}_{12}$ il versore radiale. Il segno indica che la forza è attrattiva: ciascuna massa esercita sull’altra una forza diretta lungo la congiungente dei due centri.

La legge è un’interazione a distanza con andamento inversamente proporzionale al quadrato della distanza. Se la distanza raddoppia, il modulo della forza diventa un quarto; se triplica, diventa un nono. Per corpi sfericamente simmetrici esterni l’effetto gravitazionale è equivalente a quello di una massa concentrata nel centro, proprietà che rende applicabile la formula a pianeti e satelliti in prima approssimazione.

L’energia potenziale associata, scegliendo $U(\infty)=0$ , è:

U(r)=-\frac{Gm_1m_2}{r}

Il valore negativo indica uno stato legato rispetto al riferimento posto all’infinito. Per separare indefinitamente le masse bisogna fornire energia. Questa scelta di zero è naturale nei problemi orbitali, mentre vicino alla superficie terrestre è spesso più comoda l’approssimazione locale.

Vicino alla superficie terrestre, per dislivelli piccoli rispetto al raggio terrestre, il campo può essere approssimato come uniforme:

U\simeq mgz,\qquad g\simeq \frac{GM_T}{R_T^2}

Questa formula è valida solo se $z\ll R_T$ e se si trascurano rotazione terrestre, non sfericità, altitudine e anomalie locali di densità. Per satelliti, traiettorie balistiche lunghe o missioni spaziali bisogna tornare alla dipendenza $1/r^2$ .

La legge di gravitazione, combinata con la dinamica newtoniana, produce le leggi di Keplero e le formule fondamentali delle orbite circolari ed ellittiche. Per un’orbita circolare attorno a una massa centrale $M$ , uguagliando forza gravitazionale e forza centripeta si ottiene:

\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \qquad \Rightarrow \qquad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}

La stessa impostazione porta alla velocità di fuga:

v_f=\sqrt{\frac{2GM}{r}}

L’ipotesi newtoniana funziona molto bene per molti problemi di ingegneria aerospaziale e meccanica celeste classica. Diventa però insufficiente quando servono precisioni relativistiche, come nel caso di orbite molto vicine a corpi compatti, precessione del perielio di Mercurio o correzioni temporali nei sistemi di navigazione satellitare.

Un errore comune è confondere massa e peso. La massa misura l’inerzia e la quantità di materia; il peso è la forza gravitazionale locale:

P=mg

La massa di un corpo resta la stessa in luoghi diversi, mentre il peso cambia al variare del campo gravitazionale.

Vedi anche: Leggi di Keplero, Velocità di fuga, Orbita circolare.