Le leggi di Keplero descrivono il moto orbitale dei pianeti e dei satelliti attorno a un corpo centrale. Nella meccanica newtoniana discendono dalla forza gravitazionale centrale e forniscono il linguaggio geometrico di base della meccanica celeste.
Le tre leggi
| Legge | Enunciato | Lettura dinamica |
|---|---|---|
| Prima legge | L’orbita è un’ellisse con il corpo centrale in uno dei fuochi. | La traiettoria è una conica legata all’energia meccanica. |
| Seconda legge | Il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali. | Conservazione del momento angolare in un campo centrale. |
| Terza legge | \displaystyle T^2\propto a^3 | Il periodo dipende dal semiasse maggiore e dalla massa del sistema. |
La prima legge afferma che le orbite chiuse sono ellissi con il corpo centrale in uno dei fuochi. Per satelliti artificiali e sonde la stessa struttura si estende alle coniche: ellissi per orbite legate, parabole e iperboli per traiettorie di fuga o fly-by.
La seconda legge stabilisce che il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali. In termini dinamici equivale alla conservazione del momento angolare:
Il corpo orbitante si muove quindi più velocemente al pericentro e più lentamente all’apocentro. Nel caso terrestre si parla spesso di perigeo e apogeo.
La terza legge lega periodo orbitale e semiasse maggiore. Se la massa orbitante è trascurabile rispetto alla massa centrale M:
Per due masse comparabili:
La terza legge mostra che il periodo dipende dal semiasse maggiore e dalla massa totale del sistema, non dall’eccentricità dell’orbita.
Forme operative
| Grandezza | Formula | Uso |
|---|---|---|
| Periodo attorno a massa dominante | \displaystyle T=2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{GM}} | Stima del tempo di rivoluzione da semiasse maggiore e parametro gravitazionale. |
| Velocità areolare | \displaystyle \dfrac{dA}{dt}=\dfrac{h}{2} | Misura della seconda legge tramite momento angolare specifico \displaystyle h. |
| Moto circolare come caso limite | \displaystyle v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} | Approssimazione utile quando eccentricità e variazioni radiali sono piccole. |
La costante G è la costante di gravitazione universale, a è il semiasse maggiore dell’orbita, T il periodo e M la massa centrale. In astrodinamica si usa spesso il parametro gravitazionale \mu=GM, perché è noto sperimentalmente con maggiore precisione del prodotto separato tra G e M.
Lettura ingegneristica
| Problema | Legge dominante | Conseguenza progettuale |
|---|---|---|
| Calcolo del periodo orbitale | Terza legge | Orbite più alte hanno periodi più lunghi. |
| Manovre al perigeo o all’apogeo | Seconda legge | La stessa variazione di velocità ha effetti diversi nei punti estremi dell’orbita. |
| Missioni di trasferimento | Prima e terza legge | La geometria dell’ellisse fissa tempi e raggi di partenza e arrivo. |
| Sincronizzazione tra veicoli | Terza legge | Modificare temporaneamente il semiasse maggiore cambia la fase orbitale. |
In ingegneria aerospaziale le leggi di Keplero sono la base per stimare periodi, finestre di lancio, trasferimenti di Hohmann e rendez-vous. Non sostituiscono l’integrazione numerica quando entrano in gioco perturbazioni, resistenza atmosferica, oblateness planetaria o spinte continue, ma restano il riferimento per controllare l’ordine di grandezza dei risultati.
Errori comuni
Confondere il raggio orbitale con il semiasse maggiore porta a errori nelle orbite ellittiche: nella terza legge compare a, non la distanza istantanea dal corpo centrale. Un altro errore frequente è applicare la formula con massa centrale dominante a sistemi binari in cui entrambe le masse sono confrontabili.
Vedi anche: Gravitazione universale, Momento angolare, Orbita circolare.