Il momento angolare è la grandezza vettoriale che descrive lo stato rotazionale di un punto materiale, di un sistema di particelle o di un corpo rigido rispetto a un polo o a un asse. È l’analogo rotazionale della quantità di moto: mentre la quantità di moto misura quanto un corpo tende a proseguire il moto traslatorio, il momento angolare misura quanto il moto tende a conservare una rotazione rispetto al riferimento scelto.
Punto materiale
Per un punto materiale rispetto a un polo O:
dove \mathbf{r} è il vettore posizione rispetto al polo e \mathbf{p}=m\mathbf{v} è la quantità di moto. Il prodotto vettoriale implica che \mathbf{L}_O è perpendicolare al piano individuato da posizione e velocità, con verso dato dalla regola della mano destra.
Il modulo vale:
dove \theta è l’angolo fra \mathbf{r} e \mathbf{p}. Se il moto è puramente radiale rispetto al polo, il momento angolare è nullo; se il moto è tangenziale, è massimo a parità di r e p.
Momento della forza
Il momento di una forza rispetto allo stesso polo è:
La relazione dinamica fondamentale, per un polo fisso in un sistema inerziale, è:
Questa formula è l’analogo rotazionale della seconda legge della dinamica: la risultante delle forze cambia la quantità di moto, mentre il momento risultante delle forze cambia il momento angolare. La forza applicata lungo la linea che passa per il polo non produce momento, perché il braccio è nullo.
Conservazione
Se il momento esterno risultante è nullo, il momento angolare si conserva:
Questa conservazione spiega il moto in campi centrali, la seconda legge di Keplero, l’aumento di velocità angolare quando una massa si avvicina all’asse e molti fenomeni giroscopici. In un campo centrale, come quello gravitazionale newtoniano ideale, la forza è parallela a \mathbf{r}, quindi \mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{0}: il moto resta in un piano e il raggio vettore spazza aree uguali in tempi uguali.
Il punto operativo è che bisogna specificare rispetto a quale polo o asse si conserva il momento angolare. Cambiando polo, cambia anche il vettore \mathbf{r} e quindi cambia il valore di \mathbf{L}_O.
Corpo rigido
Per un corpo rigido che ruota attorno a un asse principale con velocità angolare \omega:
dove I è il momento d’inerzia rispetto all’asse considerato. La relazione è semplice solo quando la rotazione avviene attorno a un asse principale d’inerzia o quando interessa una singola componente assiale. Nel caso generale:
dove \mathbf{I} è il tensore d’inerzia. In questi casi \mathbf{L} e \boldsymbol{\omega} non sono necessariamente paralleli, e questo è alla base di precessione, nutazione e stabilità giroscopica.
Applicazioni ed errori comuni
Il momento angolare è centrale in meccanica celeste, rotazione dei corpi rigidi, pattinaggio, volani, giroscopi, turbine, urti con vincoli e rotolamento. In ingegneria permette di capire quando una rotazione può cambiare rapidamente e quando invece è vincolata dalla conservazione.
Gli errori più frequenti sono confondere momento angolare e momento di una forza, usare L=I\omega fuori dalle ipotesi di asse fisso o asse principale, dimenticare il polo di calcolo, oppure applicare la conservazione anche quando agisce un momento esterno significativo.
Vedi anche: leggi di Keplero, teorema di Huygens-Steiner, formulario di meccanica classica, esercizi sul momento angolare, esercizi su momento d’inerzia e Steiner ed esercizi di dinamica rotazionale.