Il teorema di Huygens-Steiner, detto anche teorema degli assi paralleli, permette di calcolare il momento d’inerzia di un corpo rispetto a un asse qualsiasi, purché parallelo a un asse passante per il centro di massa.
Se J_G è il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico, m è la massa totale del corpo e d è la distanza tra i due assi paralleli, allora:
Il termine md^2 è sempre positivo. Di conseguenza, tra tutti gli assi paralleli, l’asse passante per il centro di massa è quello con momento d’inerzia minimo. Spostare l’asse lontano dal baricentro aumenta l’inerzia perché ogni elemento di massa risulta mediamente più distante dall’asse di rotazione.
Ipotesi
Il teorema richiede tre condizioni:
- gli assi devono essere paralleli;
- uno degli assi deve passare per il centro di massa;
- la distanza d deve essere la distanza perpendicolare tra gli assi, non la distanza tra punti qualunque del corpo.
Se cambia l’orientazione dell’asse, il teorema non basta. In quel caso servono momenti d’inerzia rispetto ad altri assi, eventualmente il tensore d’inerzia o una trasformazione più generale.
Idea della dimostrazione
Consideriamo un asse z_G passante per il centro di massa e un asse parallelo z distante d. Per un elemento di massa dm, la distanza quadratica dall’asse spostato può essere scritta come somma della distanza rispetto all’asse baricentrico, dello spostamento d e di un termine misto.
Integrando su tutto il corpo:
Il termine quadratico produce il momento baricentrico J_G, il termine costante produce md^2 e il termine misto si annulla perché il riferimento baricentrico ha centro di massa nell’origine. Resta quindi:
Questa dimostrazione spiega perché è essenziale usare l’asse baricentrico: solo rispetto al centro di massa il termine misto si annulla.
Esempio: asta incernierata a un estremo
Per un’asta sottile di massa m e lunghezza L, il momento d’inerzia rispetto a un asse perpendicolare all’asta e passante per il centro è:
L’asse passante per un estremo è parallelo a quello centrale e dista:
Applicando Huygens-Steiner:
Si ritrova la formula tabulata dell’asta rispetto a un estremo.
Esempio: disco con asse tangente
Per un disco pieno di massa m e raggio R, rispetto all’asse centrale perpendicolare al piano:
Un asse tangente al bordo, parallelo all’asse centrale, dista d=R. Quindi:
Questo risultato è maggiore del momento centrale perché tutto il disco viene visto da un asse più lontano dal baricentro.
Momenti d’inerzia d’area
Una forma analoga vale anche per i momenti secondi d’area in scienza delle costruzioni:
dove A è l’area della sezione. La struttura matematica è la stessa, ma il significato fisico cambia: nel momento d’inerzia di massa l’unità è \mathrm{kg\,m^2} e si descrive la dinamica rotazionale; nel momento d’inerzia d’area l’unità è \mathrm{m^4} e si descrive la distribuzione geometrica di una sezione, per esempio nella flessione.
Uso operativo
Il teorema è usato in corpo rigido, meccanica applicata, macchine rotanti, rotolamento, pendoli fisici, bielle, pulegge, ruote e sezioni composte. È utile perché consente di partire da formule tabulate rispetto al centro di massa e adattarle agli assi reali di vincolo o rotazione.
Negli esercizi la procedura è:
- identificare l’asse richiesto;
- recuperare il momento d’inerzia rispetto all’asse baricentrico parallelo;
- calcolare la distanza perpendicolare d tra gli assi;
- applicare J=J_G+md^2;
- controllare unità e asse della formula tabulata usata.
Errori comuni
Il primo errore è applicare il teorema tra assi non paralleli. Il secondo è usare una formula tabulata che non è baricentrica o non ha la stessa orientazione dell’asse richiesto. Il terzo è prendere d come distanza dal bordo invece che come distanza tra assi. Il quarto è confondere massa m e area A passando dalla dinamica dei corpi rigidi alla geometria delle sezioni.
Vedi anche: momento d’inerzia, inerzia, corpo rigido, momento angolare ed esercizi su momento d’inerzia e Steiner.