Centro di massa — ingegnerismo.it

Il centro di massa è il punto rappresentativo della distribuzione di massa di un sistema. È il punto il cui moto traslatorio descrive l’effetto complessivo delle forze esterne, indipendentemente dai dettagli delle forze interne tra le parti del sistema.

Per un insieme discreto di masse:

\mathbf{R}_{CM}=\frac{1}{M}\sum_i m_i\mathbf{r}_i, \qquad M=\sum_i m_i

Per una distribuzione continua:

\mathbf{R}_{CM}=\frac{1}{M}\int \mathbf{r}\,dm

dove $M$ è la massa totale, $m_i$ le masse elementari e $\mathbf{r}_i$ i loro vettori posizione.

Moto del centro di massa

La proprietà fondamentale è che il centro di massa si muove come un punto materiale di massa totale $M$ soggetto alla sola risultante delle forze esterne:

M\mathbf{a}_{CM}=\mathbf{F}_{\text{est,tot}}

Le forze interne possono modificare la configurazione del sistema, deformarlo o farlo ruotare, ma non accelerano il centro di massa se considerate a coppie interne. Per questo un’esplosione interna può separare i frammenti, ma il centro di massa continua a muoversi come prima se non agiscono forze esterne.

La quantità di moto totale del sistema è:

\mathbf{P}=M\mathbf{V}_{CM}

Se la risultante delle forze esterne è nulla:

\frac{d\mathbf{P}}{dt}=0

quindi la quantità di moto totale si conserva.

Centro di massa e baricentro

In un campo gravitazionale uniforme, il centro di massa coincide con il baricentro fisico, cioè con il punto di applicazione della forza peso risultante. Per corpi piccoli rispetto alla scala di variazione del campo gravitazionale questa coincidenza è praticamente sempre valida.

Occorre però distinguere:

centro geometrico, determinato dalla forma;
centroide, determinato da un’area o volume geometrico omogeneo;
centro di massa, determinato dalla distribuzione reale di massa;
baricentro, determinato dal campo gravitazionale e dalla distribuzione dei pesi.

Un oggetto geometricamente simmetrico ma con densità non uniforme può avere centro di massa spostato rispetto al centro geometrico.

Corpi continui e simmetrie

Per un corpo continuo con densità $\rho(\mathbf{r})$ :

dm=\rho(\mathbf{r})\,dV

e quindi:

\mathbf{R}_{CM}=\frac{\int_V \mathbf{r}\rho(\mathbf{r})\,dV}{\int_V \rho(\mathbf{r})\,dV}

Le simmetrie semplificano molto il calcolo. In un corpo omogeneo con piano di simmetria, il centro di massa appartiene a quel piano; con due piani di simmetria appartiene alla loro intersezione; con tre piani ortogonali di simmetria coincide con il punto comune.

Per sistemi composti da parti semplici si usa una media pesata:

\mathbf{R}_{CM}=\frac{\sum_i M_i\mathbf{R}_i}{\sum_i M_i}

dove $M_i$ e $\mathbf{R}_i$ sono massa e centro di massa della parte $i$ .

Applicazioni

Il centro di massa è essenziale in:

urti elastici e anelastici;
sistemi di particelle;
moto del corpo rigido;
dinamica dei veicoli;
bilanciamento di rotori e macchine;
biomeccanica e postura;
stabilità di oggetti appoggiati;
progettazione di satelliti, navi e aeromobili.

In un salto, per esempio, il corpo può ruotare e cambiare configurazione, ma il centro di massa segue una traiettoria determinata dalle forze esterne. In un veicolo, la posizione del centro di massa influenza stabilità, trasferimento di carico e rischio di ribaltamento.

Errori comuni

Gli errori più frequenti sono confondere centro di massa e centro geometrico, ignorare la densità non uniforme, dimenticare masse piccole ma lontane dall’origine, oppure attribuire alle forze interne la capacità di muovere il centro di massa del sistema isolato. La scelta del sistema è decisiva: una forza può essere interna per un sistema e esterna per un sottosistema.

Vedi anche: Quantità di moto, Urto, Corpo rigido.