Un corpo rigido è un modello meccanico in cui la distanza tra qualunque coppia di punti materiali resta costante durante il moto. Il corpo può traslare, ruotare e cambiare orientazione nello spazio, ma non può deformarsi. È un’idealizzazione: nessun corpo reale è perfettamente rigido, ma il modello è molto efficace quando le deformazioni sono piccole rispetto al moto globale o non influenzano in modo apprezzabile il fenomeno studiato.
Il corpo rigido è il ponte tra la dinamica del punto materiale e la meccanica dei sistemi estesi. Non basta più conoscere la massa totale: diventano importanti la distribuzione di massa, il centro di massa, il momento d’inerzia, l’orientazione e i momenti delle forze.
Definizione geometrica
La condizione di rigidità si esprime imponendo che la distanza fra due punti qualunque P_i e P_j del corpo sia costante:
Questa condizione elimina deformazioni, allungamenti, vibrazioni interne e variazioni di forma. In pratica il corpo si muove come un insieme solidale: conoscere posizione e orientazione di un riferimento fissato al corpo permette di ricostruire la posizione di ogni suo punto.
Nel piano un corpo rigido ha tre gradi di libertà: due coordinate di traslazione e un angolo di rotazione. Nello spazio tridimensionale ne ha sei: tre coordinate di posizione e tre parametri di orientazione.
Traslazione e rotazione
Il moto generale di un corpo rigido può essere scomposto in:
- traslazione del centro di massa;
- rotazione del corpo attorno al centro di massa;
- eventuale moto combinato, come nel rotolamento.
Per un punto P del corpo, con posizione relativa \mathbf{r}_{P/CM} rispetto al centro di massa, la velocità è:
Il primo termine è comune a tutti i punti del corpo; il secondo dipende dalla rotazione e dalla posizione del punto rispetto al centro di massa. Due punti dello stesso corpo rigido possono quindi avere velocità diverse anche se la forma resta invariata.
L’accelerazione contiene più contributi:
Il termine con \boldsymbol{\alpha} è tangenziale; il termine doppio con \boldsymbol{\omega} è centripeto rispetto al moto rotatorio.
Equazioni cardinali
La dinamica del corpo rigido si fonda sulle equazioni cardinali. La prima governa la traslazione del centro di massa:
Le forze interne non accelerano il centro di massa del sistema completo, perché si compensano a coppie. La seconda equazione cardinale governa la rotazione:
\mathbf{L}_O è il momento angolare rispetto al polo O e \boldsymbol{\tau}^{\text{est}}_O è il momento risultante delle forze esterne rispetto allo stesso polo. La forma è immediata se O è fisso in un riferimento inerziale, se coincide con il centro di massa oppure se rispetta le ipotesi usuali della seconda equazione cardinale.
Queste due equazioni spiegano perché un corpo può avere centro di massa in moto rettilineo uniforme e contemporaneamente ruotare, oppure può avere centro di massa fermo ma accelerazione angolare non nulla se agisce una coppia esterna.
Momento d’inerzia
Il momento d’inerzia misura come la massa è distribuita rispetto a un asse. Per un sistema discreto:
Per un corpo continuo:
r_\perp è la distanza perpendicolare dall’asse di rotazione. La distanza pesa al quadrato: una massa lontana dall’asse contribuisce molto più della stessa massa vicina all’asse. Per questo un anello sottile e un disco pieno, pur avendo stessa massa e stesso raggio, non hanno lo stesso momento d’inerzia.
Se si conosce il momento d’inerzia rispetto a un asse passante per il centro di massa, il teorema di Huygens-Steiner permette di passare a un asse parallelo distante d:
Il momento d’inerzia non è una proprietà assoluta del corpo: è sempre riferito a un asse.
Rotazione attorno a un asse fisso
Nel caso semplice di rotazione attorno a un asse fisso principale:
La relazione \tau=I\alpha è l’analogo rotazionale di F=ma: il momento delle forze ha il ruolo della forza, il momento d’inerzia ha il ruolo della massa e l’accelerazione angolare ha il ruolo dell’accelerazione lineare.
L’energia cinetica rotazionale è:
Nel caso tridimensionale generale, però, la situazione è più ricca. Il momento angolare può non essere parallelo alla velocità angolare:
dove \mathbf{I} è il tensore d’inerzia. La forma scalare L=I\omega va usata solo quando l’asse e la simmetria del problema la giustificano.
Energia cinetica
L’energia cinetica di un corpo rigido si separa in una parte traslazionale e una parte rotazionale:
Questa formula è particolarmente utile nei problemi di rotolamento, urti con rotazione, pendoli fisici, volani e corpi che scendono lungo piani inclinati. La parte traslazionale dipende dal moto del centro di massa; la parte rotazionale dipende dalla distribuzione della massa attorno all’asse.
Per questo due corpi con stessa massa e stesso raggio possono scendere in modo diverso su un piano inclinato: a parità di quota iniziale, una quota diversa dell’energia potenziale viene trasformata in energia rotazionale.
Rotolamento
Il rotolamento è un moto combinato di traslazione e rotazione. Nel caso di puro rotolamento, senza strisciamento sul piano:
L’energia diventa:
La condizione v_{CM}=\omega R non è una legge universale del moto rotatorio: è un vincolo cinematico valido solo se il punto di contatto ha velocità istantanea nulla rispetto al suolo. Se il corpo slitta, traslazione e rotazione non sono più legate da questa relazione.
Statica del corpo rigido
Un corpo rigido è in equilibrio statico quando sono soddisfatte due condizioni:
La prima impedisce l’accelerazione del centro di massa; la seconda impedisce l’accelerazione angolare. Nel piano diventano tre equazioni scalari:
Queste equazioni sono la base della statica di travi, scale, mensole, leve, gru, telai isostatici e sistemi vincolati. I vincoli vengono sostituiti dalle reazioni corrispondenti e il peso si applica al baricentro o al centro di massa quando il campo gravitazionale è uniforme.
Validità del modello
Il modello di corpo rigido è appropriato quando deformazioni elastiche, vibrazioni, flessioni e distribuzioni interne di tensione non sono l’oggetto principale del problema. È spesso adeguato per:
- macchine e meccanismi a bassa deformabilità;
- veicoli trattati come masse concentrate con inerzie note;
- rotori, dischi, volani e ruote;
- problemi elementari di statica;
- cinematica di bracci, leve e corpi vincolati;
- rotolamento senza deformazioni rilevanti.
Diventa invece insufficiente quando flessioni, torsioni, vibrazioni, urti deformabili, instabilità, onde elastiche o distribuzioni di sforzo sono centrali. In questi casi servono meccanica dei solidi, teoria delle travi, elasticità, modelli multibody flessibili o metodi numerici.
Errori comuni
Il primo errore è trattare un corpo esteso come un punto materiale anche quando il punto di applicazione delle forze genera momenti significativi. La risultante delle forze determina la traslazione, ma la rotazione dipende dai momenti.
Il secondo errore è usare un momento d’inerzia senza specificare l’asse. La stessa ruota ha momenti diversi rispetto al proprio asse, a un diametro o a un asse esterno parallelo.
Un altro errore è applicare \tau=I\alpha in modo scalare quando l’asse non è fisso, non è principale o la dinamica tridimensionale richiede il tensore d’inerzia. Infine, nel rotolamento, bisogna distinguere attrito statico, strisciamento e resistenza al rotolamento: sono fenomeni diversi e non intercambiabili.
Vedi anche: Centro di massa, Momento angolare, Momento d’inerzia, Rotolamento, Equilibrio statico, Formulario di Meccanica Classica, dinamica rotazionale e rotolamento: esercizi e statica del corpo rigido: esercizi.