La legge di Gauss magnetica afferma che il flusso magnetico netto attraverso qualunque superficie chiusa è nullo. È una delle equazioni di Maxwell e, nell’elettromagnetismo classico, esprime l’assenza di monopoli magnetici isolati: non esistono sorgenti puntiformi di campo magnetico analoghe alle cariche elettriche per il campo elettrico.
Questa legge non dice che il campo magnetico sia nullo. Dice invece che le linee di \mathbf B non cominciano e non finiscono dentro un volume: attraversano la superficie chiusa in ingresso e in uscita con bilancio totale pari a zero, oppure formano circuiti chiusi.
Forma integrale: flusso netto nullo
Per una superficie chiusa \partial V:
Il simbolo d\mathbf A indica il vettore area uscente dalla superficie. La convenzione è importante: il flusso positivo è quello uscente, il flusso negativo è quello entrante. La legge afferma che, su una superficie chiusa, la somma algebrica dei contributi è sempre nulla. Una sfera che racchiude un magnete permanente, una bobina o un tratto di conduttore percorso da corrente può essere attraversata da molte linee di campo, ma non possiede un flusso magnetico netto diverso da zero.
Forma differenziale: campo solenoidale
La forma locale è:
Il campo magnetico è quindi solenoidale: la sua divergenza è nulla in ogni punto del dominio in cui il modello classico è valido. Attraverso il teorema della divergenza, la forma integrale e quella differenziale sono collegate da:
Se la divergenza è nulla localmente, l’integrale di flusso su ogni superficie chiusa è nullo; se il flusso netto è nullo per qualunque volume, allora la divergenza del campo è nulla nel senso classico o distribuzionale.
Confronto con la legge di Gauss elettrica
| Campo elettrico | Campo magnetico |
|---|---|
| \displaystyle \nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} | \displaystyle \nabla\cdot\mathbf B=0 |
| le cariche elettriche sono sorgenti o pozzi | non esistono cariche magnetiche isolate classiche |
| le linee possono partire da cariche positive e finire su cariche negative | le linee sono chiuse o proseguono senza estremi |
La differenza concettuale è netta. Il campo elettrico può avere sorgenti e pozzi perché esistono cariche positive e negative separate. Il campo magnetico, nel quadro classico ordinario, non ha cariche magnetiche isolate. Tagliare un magnete in due non separa un polo nord da un polo sud: si ottengono due magneti più piccoli, ciascuno con entrambi i poli.
Conseguenze fisiche e ingegneristiche
La legge di Gauss magnetica compare in modo diretto nella modellazione di induttori, trasformatori, macchine elettriche e circuiti magnetici. Quando si disegna il percorso del flusso in un nucleo ferromagnetico, non si deve immaginare il flusso come una quantità che nasce nel polo nord e muore nel polo sud: il percorso completo si richiude anche attraverso l’aria, i traferri e le dispersioni.
Nelle simulazioni elettromagnetiche il vincolo \nabla\cdot\mathbf B=0 è anche un requisito numerico. Metodi agli elementi finiti, volumi finiti o differenze finite devono evitare la comparsa di divergenza magnetica spuria, perché equivarrebbe a introdurre monopoli artificiali nel calcolo. Per questo si usano formulazioni con potenziale vettore, correzioni di divergenza o schemi discreti costruiti per conservare il flusso.
In elettrotecnica la stessa idea spiega perché il flusso concatenato di un avvolgimento è legato alla geometria completa del circuito magnetico. Anche quando una parte del campo è dispersa, il campo non termina nello spazio: cambia percorso e distribuzione.
Relazione con le altre equazioni di Maxwell
La legge di Gauss magnetica è indipendente dalla legge di Faraday e dalla legge di Ampère, ma lavora insieme a esse. Faraday descrive come una variazione di \mathbf B genera campo elettrico vorticoso; Ampère-Maxwell descrive come correnti e campi elettrici variabili generano campo magnetico; Gauss magnetica impone che il campo magnetico così generato resti privo di sorgenti isolate.
| Lettura operativa | Cosa controlla |
|---|---|
| \displaystyle \oiint_{\partial V}\mathbf B\cdot d\mathbf A=0 | bilancio globale del flusso su una superficie chiusa |
| \displaystyle \nabla\cdot\mathbf B=0 | assenza locale di sorgenti magnetiche |
| linee di \mathbf B chiuse | interpretazione geometrica del vincolo |
| conservazione del flusso discreto | requisito nei modelli numerici |
Errori comuni
Il primo errore è interpretare \nabla\cdot\mathbf B=0 come \mathbf B=\mathbf 0. Un solenoide, un magnete o una macchina elettrica possono avere campi intensi pur rispettando divergenza nulla.
Il secondo errore è trattare nord e sud magnetico come cariche magnetiche separabili. Sono poli di un dipolo o di una distribuzione di magnetizzazione, non cariche magnetiche isolate nel senso della legge di Gauss elettrica.
Il terzo errore è applicare la legge a superfici aperte. Il flusso attraverso una superficie aperta può essere diverso da zero; il vincolo nullo vale per superfici chiuse. Se si cambia superficie aperta mantenendo lo stesso bordo, il flusso magnetico può cambiare, ma il bilancio sulla superficie chiusa ottenuta unendo le due superfici resta nullo.
Il quarto errore è dimenticare il vincolo nei calcoli numerici. Una soluzione approssimata che soddisfa le altre equazioni ma accumula divergenza magnetica artificiale non rappresenta fedelmente un campo magnetico fisico.
Vedi anche: equazioni di Maxwell, campo magnetico, flusso magnetico, weber, teorema di Gauss, teorema della divergenza, legge di Faraday, legge di Ampère, solenoide e formulario di elettromagnetismo.