Il circuito magnetico è un modello concentrato usato per studiare il percorso del flusso magnetico in nuclei ferromagnetici, traferri, trasformatori, elettromagneti e macchine elettriche. L’idea è rappresentare una distribuzione di campo magnetico tramite grandezze globali: flusso, forza magnetomotrice e riluttanza.
È un’analogia con il circuito elettrico, ma non va presa alla lettera. Nel circuito elettrico la corrente descrive il moto di cariche; nel circuito magnetico il flusso non è un fluido materiale che scorre nel nucleo. È una grandezza di campo, utile quando la geometria guida le linee magnetiche in modo abbastanza definito.
1. Grandezze fondamentali
Le grandezze di base sono:
Il significato dei simboli è:
| Simbolo | Significato | Unità SI |
|---|---|---|
| \Phi | flusso magnetico | \mathrm{Wb} |
| B | induzione magnetica media | \mathrm{T} |
| A | sezione attraversata dal flusso | \mathrm{m^2} |
| \mathcal F | forza magnetomotrice | \mathrm{A} o ampere-spira |
| N | numero di spire | adimensionale |
| I | corrente nell’avvolgimento | \mathrm{A} |
| \ell_m | lunghezza media del percorso magnetico | \mathrm{m} |
| \mu | permeabilità magnetica del mezzo | \mathrm{H/m} |
| \mathcal R_m | riluttanza magnetica | \mathrm{A/Wb} |
La permeabilità si scrive spesso come:
dove \mu_0 è la permeabilità del vuoto e \mu_r è la permeabilità relativa del materiale. Nei materiali ferromagnetici \mu_r può essere molto grande, ma non è costante in tutto il campo di lavoro.
2. Legge di Hopkinson
La relazione concentrata fondamentale è:
Equivale, nella forma più vicina alla legge di Ohm, a:
Per questo viene spesso chiamata legge di Hopkinson. L’analogia è:
| Circuito elettrico | Circuito magnetico |
|---|---|
| tensione V | forza magnetomotrice \mathcal F=NI |
| corrente I | flusso magnetico \Phi |
| resistenza R | riluttanza \mathcal R_m |
| V=RI | \mathcal F=\mathcal R_m\Phi |
Il vantaggio del modello è operativo: invece di risolvere un problema di campo distribuito, si riduce il sistema a una rete di riluttanze. Il prezzo è che si accettano approssimazioni su flusso disperso, non uniformità della sezione, frange di campo e non linearità del materiale.
3. Origine da Ampère
La forza magnetomotrice nasce dalla legge di Ampère. In un percorso magnetico chiuso attraversato da un avvolgimento di N spire percorse da corrente I, la circuitazione del campo magnetico ausiliario \mathbf H vale:
Se il campo è approssimativamente uniforme lungo un tratto di lunghezza \ell_m, si scrive:
Con la relazione materiale lineare:
e con:
si ottiene:
La riluttanza non è quindi una grandezza inventata per analogia: raccoglie in un unico coefficiente lunghezza del percorso, sezione e permeabilità magnetica.
4. Riluttanze in serie e in parallelo
Quando il flusso attraversa più tratti successivi, per esempio ferro e traferro, le riluttanze si sommano:
La legge concentrata diventa:
Se invece il flusso si divide in più rami, la struttura è analoga a un parallelo elettrico: la stessa forza magnetomotrice agisce sui rami e il flusso totale è la somma dei flussi parziali:
In prima approssimazione si può usare una riluttanza equivalente, ma nei sistemi reali i rami non sono sempre indipendenti: saturazione locale, perdite di flusso e geometria tridimensionale possono rendere il calcolo non lineare.
5. Ruolo del traferro
Il traferro è un tratto d’aria o di materiale non ferromagnetico inserito nel percorso magnetico. La sua riluttanza è spesso:
dove g è la lunghezza del traferro e A_g la sezione efficace. Anche un traferro molto breve può dominare la riluttanza totale, perché la permeabilità dell’aria è molto più bassa di quella del ferro in zona non saturata.
Questa proprietà è sfruttata intenzionalmente in induttori, attuatori e macchine elettriche. Il traferro:
- rende più prevedibile la relazione tra corrente e flusso;
- riduce il rischio di saturazione brusca del nucleo;
- permette di immagazzinare una quota significativa di energia magnetica;
- aumenta però la corrente magnetizzante necessaria a ottenere lo stesso flusso.
Nelle stime accurate bisogna considerare anche il fringing, cioè l’allargamento delle linee di campo ai bordi del traferro. Per questo si usa talvolta una sezione efficace A_g^{eff} maggiore della sezione geometrica del nucleo.
6. Saturazione e materiali reali
Il modello lineare:
funziona solo in una regione limitata. Nei materiali ferromagnetici la curva B(H) è non lineare: all’aumentare di H, i domini magnetici si orientano progressivamente e poi il materiale tende alla saturazione. In saturazione un grande aumento di corrente produce un aumento relativamente piccolo di flusso.
Per un circuito con nucleo e traferro è spesso più corretto scrivere:
dove H_c è il campo nel nucleo e H_g il campo nel traferro. Se il nucleo è non lineare, H_c non si ottiene con una permeabilità costante, ma dalla curva magnetica del materiale.
L’isteresi aggiunge un altro livello di complessità: il valore di B non dipende soltanto dal valore istantaneo di H, ma anche dalla storia magnetica precedente. Nei trasformatori e nelle macchine in corrente alternata questo genera perdite nel ferro e riscaldamento.
7. Collegamento con induttanza
Il circuito magnetico è direttamente collegato all’induttanza. Se il flusso \Phi concatena tutte le N spire, il flusso concatenato è:
Nel caso lineare ideale:
quindi:
Per definizione \Lambda=LI, dunque:
Questa formula spiega perché aumentare il numero di spire aumenta molto l’induttanza, mentre aumentare la riluttanza, per esempio inserendo un traferro, la riduce. In presenza di saturazione, però, \mathcal R_m dipende dal punto di lavoro e l’induttanza non è più costante.
8. Energia magnetica
Nel caso lineare l’energia accumulata nel campo magnetico può essere scritta come:
Usando \Lambda=N\Phi e \mathcal F=NI, si ottiene anche:
Per un volume in cui il campo è uniforme e il materiale è lineare:
Questa forma mostra perché nei dispositivi con traferro gran parte dell’energia può trovarsi nell’aria: anche se il traferro è piccolo, il campo H richiesto nell’aria è alto. È una ragione centrale nel progetto di induttori, relè, elettromagneti e attuatori.
9. Applicazioni
Il modello di circuito magnetico compare in molti dispositivi:
- nei trasformatori, per stimare corrente magnetizzante, flusso massimo e rischio di saturazione;
- negli induttori, per scegliere nucleo, traferro e numero di spire;
- negli elettromagneti e nei relè, per stimare forza disponibile e corrente di eccitazione;
- nei motori e generatori, per studiare flusso di traferro, poli, denti e giogo;
- nei sensori magnetici, per valutare concentrazione o dispersione del flusso.
In un trasformatore alimentato sinusoidalmente, per esempio, la relazione:
mostra che frequenza, numero di spire e flusso massimo vincolano il dimensionamento del nucleo. Se la tensione è troppo alta, la frequenza troppo bassa o le spire troppo poche, il nucleo può entrare in saturazione.
10. Limiti del modello
Il circuito magnetico è utile quando:
- il flusso principale segue un percorso riconoscibile;
- le sezioni possono essere approssimate con aree medie;
- il flusso disperso è piccolo oppure trattato con coefficienti correttivi;
- il materiale lavora in zona quasi lineare oppure si dispone della curva B(H);
- il problema non richiede una distribuzione spaziale dettagliata del campo.
Diventa meno affidabile in geometrie aperte, spigoli marcati, saturazione localizzata, materiali anisotropi, frequenze alte con correnti parassite importanti o dispositivi in cui il flusso disperso è parte essenziale del funzionamento. In questi casi servono modelli a parametri distribuiti o metodi numerici di campo, come gli elementi finiti.
11. Errori comuni
Gli errori più frequenti sono:
- Usare la permeabilità relativa come costante assoluta: nei ferromagneti \mu_r dipende dal punto di lavoro.
- Trascurare il traferro: pochi millimetri d’aria possono pesare più di molti centimetri di ferro.
- Confondere flusso e flusso concatenato: il primo attraversa una superficie, il secondo tiene conto anche del numero di spire.
- Scambiare riluttanza e perdita energetica: la riluttanza limita il flusso, ma non è una resistenza dissipativa elettrica.
- Applicare l’analogia elettrica oltre il suo dominio: non tutte le regole dei circuiti elettrici si trasferiscono senza correzioni.
- Ignorare le frange di campo: nel traferro la sezione efficace può essere diversa dalla sezione geometrica.
- Dimenticare l’isteresi: nei regimi alternati la storia magnetica produce perdite e ritardi.
12. Collegamenti essenziali
Per orientarsi nella catena concettuale, conviene leggere anche campo magnetico, flusso magnetico, flusso concatenato, legge di Ampère, induttanza, isteresi e trasformatore.