La legge di Ampère è la legge magnetostatica che lega la circuitazione del campo magnetico alla corrente elettrica concatenata con un percorso chiuso. È particolarmente utile quando la simmetria del problema permette di scegliere una linea amperiana lungo la quale il modulo di \mathbf B è costante o nullo.
Forma integrale
Nel vuoto, per correnti stazionarie:
Il membro sinistro misura la circuitazione di \mathbf B lungo la curva chiusa \gamma; il membro destro conta la corrente algebrica che attraversa una superficie qualunque avente \gamma come bordo. Il verso positivo della corrente è fissato dalla regola della mano destra rispetto al verso di percorrenza di \gamma.
Forma locale
In forma differenziale la stessa legge si scrive:
Il rotore di \mathbf B è quindi proporzionale alla densità di corrente \mathbf J. Questa forma è locale: descrive punto per punto come la corrente di conduzione generi la rotazione del campo magnetico.
Quando è davvero utile
La legge è sempre valida in magnetostatica, ma diventa uno strumento di calcolo rapido solo quando la geometria è abbastanza simmetrica da semplificare l’integrale di linea.
| Geometria | Scelta amperiana | Risultato tipico |
|---|---|---|
| Filo rettilineo infinito | circonferenza centrata sul filo | \displaystyle B(r)=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r} |
| Conduttore cilindrico pieno | circonferenza interna o esterna | \displaystyle B(r<R)=\dfrac{\mu_0 I r}{2\pi R^2} |
| Solenoide lungo | rettangolo con un lato interno | \displaystyle B\simeq \mu_0 nI |
| Toroide ideale | circonferenza concentrica nel nucleo | \displaystyle B(r)=\dfrac{\mu_0 NI}{2\pi r} |
La tabella non va letta come un elenco di formule isolate: ogni risultato deriva dal fatto che, lungo il percorso scelto, \mathbf B ha direzione tangente e modulo controllabile dalla simmetria.
Corrente concatenata
La corrente concatenata non è necessariamente la corrente totale del sistema. È la somma algebrica delle correnti che attraversano la superficie delimitata dalla linea amperiana:
dove s_k=+1 o s_k=-1 dipende dal verso con cui il filo attraversa la superficie. Questo dettaglio è essenziale nei cavi coassiali, nei conduttori con corrente di ritorno e nei problemi con più fili.
Confronto con leggi vicine
| Strumento | Caso d’uso | Cosa calcola |
|---|---|---|
| Legge di Ampère | magnetostatica con alta simmetria | circuitazione di \displaystyle \mathbf B da \displaystyle I_{\text{conc}} |
| Legge di Biot-Savart | distribuzioni di corrente senza simmetria sufficiente | contributi infinitesimi \displaystyle d\mathbf B integrati nello spazio |
| Legge di Ampère-Maxwell | campi elettrici variabili nel tempo | campo magnetico da corrente di conduzione e corrente di spostamento |
La legge di Ampère, nella forma magnetostatica, non basta nei regimi variabili nel tempo. In un condensatore in carica, per esempio, tra le armature non passa corrente di conduzione, ma il campo elettrico varia: serve il termine di Maxwell.
Errori comuni
- Applicare la legge a geometrie prive di simmetria e poi portare B fuori dall’integrale senza giustificazione.
- Usare la corrente totale del circuito invece della corrente effettivamente concatenata dal percorso scelto.
- Dimenticare il segno algebrico delle correnti rispetto al verso della linea amperiana.
- Usare la forma \nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J in presenza di campi elettrici variabili, dove occorre la legge di Ampère-Maxwell.
Vedi anche: Campo magnetico, Legge di Biot-Savart, Legge di Ampère-Maxwell, Equazioni di Maxwell, esercizi sulla legge di Ampère.