La divergenza è l’operatore differenziale che misura il flusso netto uscente locale di un campo vettoriale. In termini fisici, risponde alla domanda: in un intorno infinitesimo di un punto, il campo sta uscendo più di quanto entra, sta entrando più di quanto esce, oppure il bilancio è nullo?
Se la divergenza è positiva, il punto si comporta localmente come una sorgente. Se è negativa, si comporta come un pozzo. Se è nulla, non c’è produzione netta locale: il campo può comunque muoversi, ruotare, curvarsi o variare nello spazio, ma il bilancio uscente-entrante è zero.
Definizione in coordinate cartesiane
In \mathbb{R}^3, per un campo vettoriale sufficientemente regolare:
la divergenza è:
Il simbolo \nabla\cdot\mathbf F si legge “nabla scalare F” o “divergenza di F”. Il risultato non è un vettore, ma un campo scalare: a ogni punto associa un numero.
In due dimensioni, per:
si usa:
In \mathbb{R}^n, se:
allora:
La formula somma le variazioni di ciascuna componente nella propria direzione. Non somma tutte le derivate possibili: la componente lungo x si deriva rispetto a x, quella lungo y rispetto a y, e così via.
Interpretazione come flusso locale
Il significato geometrico della divergenza è il limite del flusso uscente per unità di volume attorno al punto p:
dove V_\varepsilon è un piccolo volume che contiene p, \partial V_\varepsilon è il suo bordo e \boldsymbol{\nu} è la normale uscente.
Questa formula spiega perché la divergenza è una densità locale di flusso. Il numeratore misura quanto campo esce dal bordo del volume; il denominatore normalizza rispetto al volume. Facendo tendere il volume a zero si ottiene una quantità puntuale.
Lettura del segno
| Segno | Interpretazione locale | Esempio qualitativo |
|---|---|---|
| \nabla\cdot\mathbf F>0 | esce più campo di quanto entri | sorgente, espansione, produzione locale |
| \nabla\cdot\mathbf F<0 | entra più campo di quanto esca | pozzo, compressione, assorbimento locale |
| \nabla\cdot\mathbf F=0 | bilancio entrante-uscente nullo | campo solenoidale, flusso incomprimibile |
La divergenza non misura la lunghezza del vettore \mathbf F e non misura la rotazione. Un campo può avere vettori grandi e divergenza nulla, oppure vettori piccoli e divergenza non nulla. La divergenza misura il bilancio locale del flusso.
Esempi elementari
Consideriamo il campo radiale in \mathbb{R}^3:
La divergenza è:
Il campo punta verso l’esterno e si comporta come una sorgente distribuita: ogni piccolo volume ha flusso netto uscente positivo.
Consideriamo invece:
La divergenza è:
Il campo ruota attorno all’asse z, ma non produce flusso netto uscente locale. Questo esempio separa bene divergenza e rotore: un campo può essere rotazionale e avere divergenza nulla.
Un terzo esempio è:
per cui:
Il campo punta verso l’origine e localmente si comporta come un pozzo distribuito.
Lettura operativa
| Segno | Interpretazione locale | Esempio |
|---|---|---|
| \displaystyle \nabla\cdot\mathbf F>0 | Il campo esce più di quanto entri. | Sorgente o espansione. |
| \displaystyle \nabla\cdot\mathbf F<0 | Il campo entra più di quanto esca. | Pozzo o compressione. |
| \displaystyle \nabla\cdot\mathbf F=0 | Bilancio locale nullo. | Campo solenoidale o incomprimibile. |
Operativamente, calcolare la divergenza richiede tre passaggi:
- identificare le componenti del campo;
- derivare ogni componente rispetto alla coordinata corrispondente;
- sommare i termini ottenuti.
Per un campo:
non bisogna calcolare \partial P/\partial y o \partial Q/\partial x per la divergenza: quei termini entrano in altri operatori, come il rotore. La struttura della divergenza è diagonale rispetto alle coordinate cartesiane.
Campi solenoidali
Un campo è detto solenoidale se:
Questo non significa che il campo sia nullo, né che sia costante. Significa che ogni piccolo volume riceve tanto flusso quanto ne perde. I campi solenoidali sono fondamentali in fluidodinamica, elettromagnetismo e analisi vettoriale.
Esempi tipici:
| Contesto | Campo solenoidale | Significato |
|---|---|---|
| fluido incomprimibile | \nabla\cdot\mathbf v=0 | nessuna espansione volumetrica locale |
| magnetostatica | \nabla\cdot\mathbf B=0 | assenza di monopoli magnetici isolati |
| analisi vettoriale | \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf A)=0 | la divergenza di un rotore è sempre nulla, sotto regolarità adeguata |
La parola “solenoidale” richiama linee di campo senza inizio né fine all’interno del dominio: il flusso che entra in una regione deve uscire da qualche altra parte.
Divergenza nei bilanci conservativi
La divergenza compare naturalmente nei bilanci locali. Se \rho è una densità e \mathbf j è il flusso associato, una forma generale di conservazione è:
dove s rappresenta una sorgente volumetrica. Se non ci sono sorgenti:
Nel caso della massa fluida, \mathbf j=\rho\mathbf v, e si ottiene l’equazione di continuità:
Se la densità è costante e il fluido è incomprimibile, questa relazione diventa:
La divergenza è quindi il termine che trasforma un flusso attraverso il bordo in accumulo o svuotamento locale.
Teorema della divergenza
Il teorema della divergenza collega la forma locale e la forma globale del bilancio. Se V è un volume regolare e \partial V è il suo bordo orientato con normale uscente:
Il lato sinistro somma tutte le sorgenti locali dentro il volume. Il lato destro misura il flusso netto uscente attraverso la superficie chiusa. Questa identità è il ponte tra calcolo differenziale e calcolo integrale dei campi.
In fisica, lo stesso principio permette di passare tra forme locali e integrali di molte leggi. Per esempio, la legge di Gauss elettrica in forma locale:
equivale, sotto ipotesi regolari, alla forma integrale:
La divergenza del campo elettrico misura quindi la densità locale di sorgente elettrica, cioè la carica.
Relazione con gradiente e laplaciano
La divergenza si applica a campi vettoriali. Il gradiente si applica invece a campi scalari e produce un campo vettoriale:
Componendo i due operatori si ottiene il laplaciano:
In coordinate cartesiane tridimensionali:
Questa relazione è centrale in conduzione del calore, diffusione, elettrostatica, meccanica dei continui e metodi numerici. La divergenza consente di scrivere in forma compatta il flusso di una grandezza che dipende dal gradiente di un potenziale.
Coordinate non cartesiane
Le formule precedenti valgono in coordinate cartesiane. In coordinate cilindriche, sferiche o curvilinee, la divergenza contiene fattori metrici legati alla geometria delle coordinate. Per esempio, in coordinate cilindriche (r,\theta,z):
In coordinate sferiche (r,\theta,\varphi), per un campo con componenti (F_r,F_\theta,F_\varphi):
Questi termini aggiuntivi non sono correzioni arbitrarie: derivano dal fatto che volumi e superfici elementari cambiano con la posizione. Applicare la formula cartesiana in coordinate curvilinee è uno degli errori più gravi nei problemi con simmetria cilindrica o sferica.
Applicazioni
La divergenza compare in molti modelli ingegneristici:
| Ambito | Uso della divergenza |
|---|---|
| fluidodinamica | vincolo di incomprimibilità e bilanci di massa |
| elettrostatica | relazione tra campo elettrico e densità di carica |
| magnetismo | condizione \nabla\cdot\mathbf B=0 |
| trasporto termico | bilancio del flusso di calore |
| diffusione | passaggio da flusso a variazione locale di concentrazione |
| meccanica dei continui | bilanci locali di massa, quantità di moto ed energia |
| calcolo numerico | discretizzazione conservativa tramite differenze finite o volumi finiti |
Nelle simulazioni, preservare correttamente la divergenza è spesso essenziale. Un campo di velocità numerico che dovrebbe essere incomprimibile ma ha divergenza residua può introdurre sorgenti artificiali di massa. Un campo magnetico con divergenza numerica non nulla può produrre artefatti nelle simulazioni magnetoidrodinamiche.
Errori comuni
Il primo errore è confondere divergenza e rotore. La divergenza misura flusso netto uscente; il rotore misura circolazione locale. Sono informazioni diverse sullo stesso campo.
Il secondo errore è interpretare \nabla\cdot\mathbf F=0 come campo nullo. Un campo solenoidale può essere intenso e variabile: semplicemente non ha sorgenti o pozzi locali.
Il terzo errore è dimenticare che la divergenza dipende dal sistema di coordinate. La formula cartesiana non va trasferita in coordinate cilindriche o sferiche senza i fattori geometrici.
Il quarto errore è trascurare l’orientazione della normale nel collegamento con il flusso: nel teorema della divergenza si usa la normale uscente. Cambiare verso cambia il segno del flusso.
Vedi anche: campo vettoriale, flusso, integrali di superficie, teorema della divergenza, rotore, gradiente, laplaciano, equazione di continuità e divergenza, rotore e flusso: esercizi svolti.