Integrali di Superficie

Gli integrali di superficie generalizzano il concetto di integrazione a superfici in $\mathbb{R}^3$, con applicazioni al calcolo di flussi di campi vettoriali attraverso superfici.

Orientazione e Vettore Normale

Una superficie regolare $\Sigma$ parametrizzata da $\mathbf{r}(u,v)$ ammette il vettore normale non unitario: $\mathbf{n} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$

La scelta di $\mathbf{n}$ o $-\mathbf{n}$ determina l’orientazione della superficie. Per superfici chiuse si sceglie la normale uscente per convenzione.

Integrale di Prima Specie (rispetto all’area)

$\iint_\Sigma f\,d\sigma = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v))\,\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|\,du\,dv$

Per $f = 1$ si ottiene l’area della superficie. Per $f = \rho$ (densità superficiale) si ottiene la massa.

Integrale di Seconda Specie (flusso)

Il flusso del campo vettoriale $\mathbf{F}$ attraverso $\Sigma$ orientata è: $\iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot d\boldsymbol{\sigma} = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,du\,dv$

Il flusso misura la quantità netta di campo che attraversa la superficie nella direzione della normale.

Relazione con i Teoremi del Calcolo Vettoriale

• Teorema di Stokes: collega il flusso del rotore di $\mathbf{F}$ attraverso $\Sigma$ alla circuitazione di $\mathbf{F}$ lungo il bordo $\partial\Sigma$.
• Teorema della divergenza: collega il flusso di $\mathbf{F}$ uscente da una superficie chiusa alla divergenza di $\mathbf{F}$ nel volume racchiuso.