Gli integrali di superficie generalizzano il concetto di integrazione a superfici in \mathbb{R}^3, con applicazioni al calcolo di flussi di campi vettoriali attraverso superfici.
Orientazione e Vettore Normale
Una superficie regolare \Sigma parametrizzata da \mathbf{r}(u,v) ammette il vettore normale non unitario: \mathbf{n} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v
La scelta di \mathbf{n} o -\mathbf{n} determina l’orientazione della superficie. Per superfici chiuse si sceglie la normale uscente per convenzione.
Integrale di Prima Specie (rispetto all’area)
\iint_\Sigma f\,d\sigma = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v))\,\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|\,du\,dv
Per f = 1 si ottiene l’area della superficie. Per f = \rho (densità superficiale) si ottiene la massa.
Integrale di Seconda Specie (flusso)
Il flusso del campo vettoriale \mathbf{F} attraverso \Sigma orientata è: \iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot d\boldsymbol{\sigma} = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v)\,du\,dv
Il flusso misura la quantità netta di campo che attraversa la superficie nella direzione della normale.
Relazione con i Teoremi del Calcolo Vettoriale
- Teorema di Stokes: collega il flusso del rotore di \mathbf{F} attraverso \Sigma alla circuitazione di \mathbf{F} lungo il bordo \partial\Sigma.
- Teorema della divergenza: collega il flusso di \mathbf{F} uscente da una superficie chiusa alla divergenza di \mathbf{F} nel volume racchiuso.