Campo vettoriale — ingegnerismo.it

Un campo vettoriale è una funzione che associa a ogni punto di un dominio un vettore. È il linguaggio naturale per descrivere grandezze distribuite con modulo, direzione e verso: velocità di un fluido, campo elettrico, campo magnetico, forza per unità di massa o flusso di calore.

Definizione

\mathbf{F}:A\subseteq\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^m.

Nel caso più comune per il calcolo vettoriale si ha $\displaystyle m=n$ : a ogni punto dello spazio si associa un vettore nello stesso spazio.

Dominio	Forma tipica
Campo nel piano	$\displaystyle \mathbf{F}(x,y)=\bigl(P(x,y),Q(x,y)\bigr)$
Campo nello spazio	$\displaystyle \mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\bigr)$
Campo in $\displaystyle \mathbb{R}^n$	$\displaystyle \mathbf{F}(x_1,\ldots,x_n)=\bigl(F_1,\ldots,F_n\bigr)$

Operatore nabla

L’operatore $\displaystyle \nabla$ raccoglie le derivate parziali:

\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots,\frac{\partial}{\partial x_n}\right).

Operazione	Risultato
Gradiente	$\displaystyle \nabla f$ trasforma un campo scalare in un campo vettoriale
Divergenza	$\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{F}$ misura sorgenti e pozzi locali
Rotore	$\displaystyle \nabla\times\mathbf{F}$ misura la circolazione locale in $\displaystyle \mathbb{R}^3$
Laplaciano	$\displaystyle \Delta f=\nabla\cdot(\nabla f)$ misura curvatura/diffusione locale

Per un campo $\displaystyle \mathbf{F}=(F_1,\ldots,F_n)$ , la divergenza è:

\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_1}{\partial x_1} +\cdots+ \frac{\partial F_n}{\partial x_n}.

In $\displaystyle \mathbb{R}^3$ , il rotore è:

\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}.

Classi importanti

Tipo di campo	Condizione	Interpretazione
Conservativo	$\displaystyle \mathbf{F}=\nabla\varphi$	il lavoro dipende solo dagli estremi
Irrotazionale	$\displaystyle \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}$	assenza di rotazione locale
Solenoidale	$\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{F}=0$	assenza di sorgenti nette locali
Potenziale	$\displaystyle \mathbf{F}$ deriva da una funzione scalare o vettoriale	semplifica calcoli e interpretazione fisica

Due identità fondamentali collegano questi operatori:

\nabla\times(\nabla f)=\mathbf{0}, \qquad \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0.

In un dominio semplicemente connesso, un campo irrotazionale regolare è conservativo; in domini con buchi questa equivalenza può fallire.

Lettura ingegneristica

Ambito	Campo vettoriale tipico
Meccanica dei fluidi	campo di velocità $\displaystyle \mathbf{v}(x,y,z,t)$
Elettromagnetismo	campo elettrico $\displaystyle \mathbf{E}$ e campo magnetico $\displaystyle \mathbf{B}$
Meccanica	campo di forze o accelerazioni
Trasporto di calore	flusso termico e gradiente di temperatura
Controlli e robotica	campo di velocità o campo di forze virtuali

Il punto operativo è distinguere tra proprietà locali e proprietà globali. Divergenza e rotore descrivono comportamenti infinitesimi; integrali di linea, flussi e teoremi di Green, Gauss e Stokes collegano quelle proprietà locali a quantità misurabili su curve, superfici e volumi.

Approfondimenti: gradiente, divergenza, rotore, campo conservativo, flusso.